從線段樹的可刪減性談樹狀數組

這多是我最後一次更新博客了呢

# 前言

好久以前，我初學樹狀數組的時候感受很是的複雜、神奇、晦澀難懂。。。

果真仍是我太菜了。後來瞭解到線段樹的可刪減性，這二者就天然而然的聯繫在一塊兒了。

 

# 線段樹的可刪減性

很顯然，對於一些區間操做的問題，線段樹有着絕對的優點，基本上只要是區間查詢之類的問題，那線段樹是沒跑了。

可是若是咱們要查詢的是前綴和這樣的東西的話，會不會感受線段樹中的一些東西是多餘的呢？

這麼說可能有些很差理解，畫畫圖就好：

上圖若是看不清楚，請在新標籤頁中打開。(藍色爲節點標號，紅色是區間端點)

假設咱們查詢到位置 9 的前綴和，那麼答案就等於 2 號節點和 6 號節點的和。

這兩個節點有什麼奇怪的性質？

顯然它們都是左孩子啊，那是否是全部的前綴和都是僅由左孩子節點構成的呢。

再試一下，就會發現，都是這樣的。如何證實？

從根節點開始，答案有如下兩種狀況。

• 在左孩子中。
• 整個左孩子就是答案。
• 整個左孩子加上右孩子的一部分。

先看第二種狀況。。。那這根本沒有懸念吧，只有左孩子。

那再看第一種狀況，在左孩子中查找答案。那麼答案仍是分紅上面的三種狀況。

關鍵的就是來看第三種狀況，那在右孩子中的答案就變成了 mid 到查詢區間的右端點的和。

若是把左子樹看作一個總體的話，只有變成了上面的差前綴和的問題。也就是說若是在右孩子中存在一部分答案的話，就會已知按照上面的三種狀況劃分下去，直到出現了第二種狀況。

那第一種狀況也是如此，已知分下去，問題要麼直接變成第二種狀況，要麼先變成第三種狀況再變成第二種狀況。

並且觀察咱們的路徑，會發現對答案有貢獻的節點所有都是左端點。也就是說又斷電時能夠省略掉的。

以下圖。

這就是線段樹的可刪減性。

 

# 再說樹狀數組

樹狀數組能解決的不正是前綴和的查詢嗎？那麼咱們再來看上面的圖，刪掉右孩子後，是否是變成了一個樹狀數組呢？

這就是二者之間的關係。