樹狀數組與線段樹（三）

找規律題

1.螺旋折線

以下圖所示的螺旋折線通過平面上全部整點剛好一次。

對於整點 (X,Y)，咱們定義它到原點的距離 dis(X,Y) 是從原點到 (X,Y) 的螺旋折線段的長度。

例如 dis(0,1)=3,dis(−2,−1)=9

給出整點座標 (X,Y)，你能計算出 dis(X,Y)嗎？

輸入格式

包含兩個整數 X,Y。

輸出格式

輸出一個整數，表示 dis(X,Y)。

數據範圍

−10⁹≤X,Y≤10⁹

輸入樣例：

0 1

輸出樣例：

3
解題思路：這是一道找規律題，咱們能夠將整個座標都用距離標識一下，以下圖

 

 咱們先看x>=0&&y>=0時：若x>=y,dis=(2*x)*(2*x)+(x-y),若x<y,dis=(2*y)*(2*y)-(y-x)

再看x<0&&y>0:x取絕對值，若x>=y,dis=(2*x-1)*(2*x)-(x-y)，若x<y,dis=(2*y-1)*(2*y)+(y-x)

再看x<=0&&y<=0：x取絕對值，y取絕對值，若x>=y&&x!=0&&y!=0,dis=(2*x-1)*(2*x-1)+(x-y),若x<y&&x!=0&&y!=0，dis=(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1-x)

其中須要特殊考慮x和y的負半軸，x!=0&&y==0，dis=(2*x-1)*(2*x-1)+(x-1)，當x==0&&y!=0，dis=(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1)

再看x>0&&y<0時：y取絕對值，當x<=y，dis=(2*y+1)*(2*y)+(y-x)，當x>y時，dis=(2*x+1)*(2*x)-(x-y)

代碼：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll x,y,i,j;
    cin>>x>>y;
    if(x>=0&&y>=0)
    {
        if(y>=x)
            cout<<(2*y)*(2*y)-(y-x)<<endl;
        else if(y<x)
            cout<<(2*x)*(2*x)+(x-y)<<endl;
    }
    else if(x<0&&y>0)
    {
        x=-x;
        if(x>=y)
            cout<<(2*x-1)*(2*x)-(x-y)<<endl;
        else if(x<y)
            cout<<(2*y-1)*(2*y)+(y-x)<<endl;
    }
    else if(x<=0&&y<=0)
    {
        x=-x;y=-y;
        if(x>=y&&x!=0&&y!=0)
        {
            cout<<(2*x-1)*(2*x-1)+(x-y)<<endl;
        }
        else if(x<y&&x!=0&&y!=0)
            cout<<(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1-x)<<endl;
        else if(x!=0&&y==0)
            cout<<(2*x-1)*(2*x-1)+(x-1)<<endl;
        else if(x==0&&y!=0)
            cout<<(2*y+1)*(2*y+1)-(y+1)<<endl;
    }
    else if(x>0&&y<0)
    {
        y=-y;
        if(x<=y)
            cout<<(2*y+1)*(2*y)+(y-x)<<endl;
        else if(x>y)
            cout<<(2*x+1)*(2*x)-(x-y)<<endl;
    }
    return 0;
}

 

（二）差分

1.差分矩陣

輸入一個n行m列的整數矩陣，再輸入q個操做，每一個操做包含五個整數x1, y1, x2, y2, c，其中(x1, y1)和(x2, y2)表示一個子矩陣的左上角座標和右下角座標。

每一個操做都要將選中的子矩陣中的每一個元素的值加上c。

請你將進行完全部操做後的矩陣輸出。

輸入格式

第一行包含整數n,m,q。

接下來n行，每行包含m個整數，表示整數矩陣。

接下來q行，每行包含5個整數x1, y1, x2, y2, c，表示一個操做。

輸出格式

共 n 行，每行 m 個整數，表示全部操做進行完畢後的最終矩陣。

數據範圍

1≤n,m≤1000
1≤q≤100000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤c≤1000
−1000≤矩陣內元素的值≤1000

輸入樣例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

輸出樣例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

解題思路：差分矩陣是二維的，以前的差分數組是一維的，他的解題思路與一維的思路是同樣的
核心：a[N][N],b[N][N]，a數組是b數組的前綴和
所以要在（x1,y1）,（x2,y2）之間加上一個數，則須要將

b[x1][y1]+=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;

這樣才能知足差分矩陣的要求

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+b[i][j];
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        for(j=1;j<=m;j++)
            cout<<a[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

 

（三）線段樹

1.油漆面積

X星球的一批考古機器人正在一片廢墟上考古。

該區域的地面堅硬如石、平整如鏡。

管理人員爲方便，創建了標準的直角座標系。

每一個機器人都各有特長、身懷絕技。

它們感興趣的內容也不相同。

通過各類測量，每一個機器人都會報告一個或多個矩形區域，做爲優先考古的區域。

矩形的表示格式爲 (x1,y1,x2,y2)，表明矩形的兩個對角點座標。

爲了醒目，總部要求對全部機器人選中的矩形區域塗黃色油漆。

小明並不須要當油漆工，只是他須要計算一下，一共要耗費多少油漆。

其實這也不難，只要算出全部矩形覆蓋的區域一共有多大面積就能夠了。

注意，各個矩形間可能重疊。

輸入格式

第一行，一個整數 n，表示有多少個矩形。

接下來的 n行，每行有 4 個整數 x1,y1,x2,y2，空格分開，表示矩形的兩個對角頂點座標。

輸出格式

一行一個整數，表示矩形覆蓋的總面積。

數據範圍

1≤n≤10000
0≤x1,x2,y2,y2≤10000
數據保證 x1<x2 且 y1<y2。

輸入樣例1：

3
1 5 10 10
3 1 20 20
2 7 15 17

輸出樣例1：

340

輸入樣例2：

3
5 2 10 6
2 7 12 10
8 1 15 15

輸出樣例2：

128

代碼：
題解稍後補上

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=10010;
int n;
struct Segment
{
    int x,y1,y2;
    int k;
    bool operator< (const Segment &t)const
    {
        return x<t.x;
    }
}seg[N*2];
struct node
{
    int l,r;
    int len,cnt;
}tr[N*4];
void pushup(int u)
{
    if(tr[u].cnt>0)
        tr[u].len=tr[u].r-tr[u].l+1;
    else if(tr[u].l==tr[u].r)
        tr[u].len=0;
    else
        tr[u].len=tr[u<<1].len+tr[u<<1|1].len;
}
void build(int u,int l,int r)
{
    tr[u]={l,r};
    if(l==r)
        return;
    int mid=l+r>>1;
    build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
}
void modify(int u,int l,int r,int k)
{
    if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r)
    {
        tr[u].cnt+=k;
        pushup(u);
    }
    else
    {
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(l<=mid)
            modify(u<<1,l,r,k);
        if(r>mid)
            modify(u<<1|1,l,r,k);
        pushup(u);
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    int m=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        seg[m++]={x1,y1,y2,1};
        seg[m++]={x2,y1,y2,-1};
    }
    sort(seg,seg+m);
    build(1,0,10000);
    int res=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(i>0)
            res+=tr[1].len*(seg[i].x-seg[i-1].x);
        modify(1,seg[i].y1,seg[i].y2-1,seg[i].k);
    }
    printf("%d",res);
    return 0;
}