【資料】印度數學家拉馬努金

 

印度數學家拉馬努金
（這篇文章出自《數學家思想文庫 一個數學家的辯白》，我作了一些校對和修正。）
本文系哈代於1936年8月31日在哈佛文學和科學三百年記念大會上發表的演講。詳見本文末的註釋。

在這些演講中我賦予本身一項真正困難的使命，若是我打算一開始就提出種種失敗的理由，那我就會說這個使命幾乎是不可能完成的。我必須親自，並盡力幫助大家，對近代數學史上這位最浪漫的人物作出某種理智的評價，而我從未真正作出過這種評價；這我的的一輩子充滿了矛盾和爭議，他違反幾乎一切咱們經常使用來評判他人的原則，全部人對他的評價，大概只有一點是一致的，那就是，在某種意義上，他是一位很是偉大的數學家。

評價拉馬努金的困難之處顯而易見，十分艱難。拉馬努金是印度人，我想，一個英國人和一個印度人要完全相互理解總會有困難。他充其量只是半受教育的印度人；從未在接受正統的印度教育方面勝人一籌，況且這種教育原不足稱道。他沒能經過印度大學中的「一等文科考試」，甚至從未湊合着當上「不及格的文學士」。他一輩子中大部分時間都在對現代歐洲數學徹底無知的狀況下工做，30歲出頭就去世了，而這時，某種意義上，他幾乎還沒開始受到數學教育。他發表的做品不少——論文集有將近400頁的一大卷——但還留下了大量未發表的工做，直到近幾年才被完全地分析。這些工做包含許多新東西，但更多的是再發現，並且一般是不完善的再發現。有時候，依然作不到區分哪些結果是他從新發現的，哪些多是他學來的。甚至今日，我也想象不出有誰能肯定無疑地評判，他是一個多麼偉大的數學家，更沒必要說有誰敢確定地判斷，他本可能成爲多麼偉大的數學家。

這些都是確實無疑的困難，可是我想咱們會發現其中有些難處不像看起來那麼可怕，而就我來講，最大的困難與拉馬努金數學生涯的明顯悖謬無關。個人真正困難在於，某種意義上，拉馬努金是個人發現。我沒有發明他——像一切偉人同樣，他發明了本身——但在有幸看到他的某些工做的人中，我是第一個夠資格的人。我馬上就看出我發現了一塊怎樣的瑰寶，至今回想此事，我仍對本身感到很是滿意。我想我比任何人都更瞭解拉馬努金，我依然是拉馬努金這一特殊課題的首要權威。對於拉馬努金的某部分工做，英國還有別的人比我更熟悉，尤爲是沃森(Watson)教授和莫德爾(Mordell)教授，但不管沃森仍是莫德爾都不像我那樣熟悉拉馬努金本人。好幾年裏，我幾乎每天見他，同他聊天，最重要的是，我切實地同他合做過。在這個世界上，除了一我的①以外，我得益於他賽過得益於世上其餘任何人，同他的交往是我生命中一段浪漫的插曲。個人難處不在對他了解不夠，而在於我瞭解和感覺得太多，以致於我就是作不到不偏不倚。

關於拉馬努金的平生事蹟，我引用耶爾和拉奧，他們寫的拉馬努金回憶錄，同我寫的回憶錄一塊兒發表在拉馬努金的《論文集》中。拉馬努金1887年出生於馬德拉斯管區坦焦爾(Tanjore)縣的一箇中型鎮——貢伯戈納姆附近埃羅德的一個婆羅門家庭。他父親是貢伯戈納姆一家服裝商店的店員，他的親戚們種姓都很高，但很貧窮。①指J．E．利特爾伍德。——一譯註

7歲時他被送到貢伯戈納姆中學，在那兒讀了9年。在10歲以前他的特殊才能就已使他脫穎而出，到12或13歲時，人人都知道他是個天賦異稟的孩子。他的傳記做者講述了他早年一些有趣的故事。例如，他們說，開始學習三角學後不久，他就獨立發現了「歐拉正弦和餘弦定理」(照個人理解，這是說圓函數和指數函數之間的關係)，後來他從龍內的《三角學》第二卷中看到這是一個已知結果時失望之極。直到16歲爲止，他從未見太高層次的數學書。那時惠特克(Whittaker)的《現代分析》尚未流傳到那麼遠的地方，布拉米奇的《無窮級數》還沒出版。毫無疑問，若是獲得這兩本書中的任何一本，都將大大改變他的人生之路。然而另外一本徹底不一樣類型的書，卡爾的《概要》，最早激發了拉馬努金的所有天賦。
卡爾的書(《純粹和應用數學基本結果概要》，做者G．S．卡爾從前是劍橋岡維爾和凱厄斯學院的學者，該書（1880和1886年出版兩卷)如今幾乎找不到了。劍橋大學圖書館存有一份複本，恰巧貢伯戈納姆政府大學圖書館中有一本，拉馬努金的一個朋友幫他借到了它。這本書在任何意義上都不是一本出色的書，但拉馬努金使它成名，無疑這本書對拉馬努金產生了深遠的影響，讀熟這本書，即是他數學生涯的真正起點。這樣的書定然有它自身的品質，縱使卡爾的書不是什麼高級的書，但也絕非三流的教科書，而是一本以真正的學者身份和熱情寫成的、具備自身的風格和特色的書。卡爾本人是倫敦的一位私人教師，大約40歲時來到劍橋作學生，是1880年數學榮譽學位考試第12名(同年他出版了著做的第一卷)。如今除了拉馬努金使他名聲不朽，已經無人記得他了，甚至在他本身的學院裏也是如此。但他定然是一個在某些方面至關出色的人。
我猜測這本書實質上是卡爾輔導筆記的概要。若是你是卡爾的一名學生，學習了《概要》中的適當章節。該書大約包含了如今的數學榮譽學位考試A等級部分的課題(由於這些課題在1880年劍橋大學已爲人所理解)，而且確實像它自稱的那樣是個「概要」。它包含了6165條定理的闡述，這些定理系統而十分科學地排列着，附上的證實絕對是這本書中最無聊的部分，一般只比參見書中其餘定理稍詳細一點兒。全部這些特色在拉馬努金著名的筆記本(它實際上徹底沒有證實)中被放大了，學習筆記本的學生都看得出，拉馬努金展現定理的方式徹底沿襲自卡爾的書。
卡爾書中有些章節討論代數，三角學，微積分和解析幾何等常見的科目，但不一樣章節描繪的詳盡程度不同，尤爲是積分的形式理論，這彷佛是卡爾寵愛的專題，對它的論述很是充分並且講的特別好。沒講函數論，我很是懷疑拉馬努金，直至他生命的盡頭，是否徹底清楚地弄懂過什麼是解析函數。更爲使人吃驚的是，考察卡爾本人的興趣和拉馬努金以後的工做，都沒有談及橢圓函數。無論拉馬努金怎麼得到他關於這一理論的很是奇特的知識，它不是來自卡爾。
總之，做爲對於具備如此不尋常天賦的孩子的鼓舞者，卡爾不算太糟，並且拉馬努金的反應則使人驚豔。他的印度傳記做者①，寫道：

在這個向他打開的新世界裏，拉馬努金興高采烈地漫遊着。正是這本書喚醒了他的天賦，他開始證明書中給出的公式。因爲沒有其餘書的幫助，就他所及，每一個解法都是一項研究……拉馬努金曾說娜瑪 ￥卡(Namakkal)女神在夢中用公式向他啓示。有一個使人印象深入的事實，他常常在起牀時記下結果並迅速地證實它們，不過通常不能給出嚴格證實……
①引文(除那些出自我本身關於拉馬努金的回憶錄外)出自耶爾和拉奧。——原注

我有意引用最後幾句話，不是由於我重視它們——我同大家同樣對娜瑪￥ 卡女神毫無興趣——而是由於咱們正接近於拉馬努金生涯中困難和悲劇性的部分，咱們必須盡本身所能去努力理解他的心理狀態以及早年籠罩在他周圍的氣氛。
我確定拉馬努金並不神祕，除在一種嚴格的物質意義上，宗教在他的生活中並不重要。他是正統的、高種姓的印度人，一般謹守(在住在英國的印度人中，他謹守的嚴厲程度極爲罕見)全部他的種姓的規矩。他曾向父母許諾這樣作，並在字面意義上恪守他的諾言。他是最嚴格的素食者——後來他生病時，這一點使他過的很是困難——他在劍橋的日子裏老是本身作飯，並且必定要先換上教徒穿的寬鬆衣褲再作。
發表在《論文集》上的兩篇關於拉馬努金的回憶錄(都是由在不一樣側面對拉馬努金很熟悉的人寫的)在關於他的宗教信仰方面觀點截然相反。耶爾和拉奧寫道：
拉馬努金有明確的宗教觀，他對娜瑪￥ 卡女神懷有特殊的崇敬……他相信至高神的存在以及肉身成神……他已樹立起關於此世與彼世問題的信念。…．
而我寫道：
……他的宗教觀念不過是對儀式的謹守而非頭腦清醒的信念，我清楚地記得他告訴我(令我很吃驚)在他眼裏，全部的宗教都或多或少一樣真實……
咱們誰是對的?對我來講，根本毫無疑慮，我十分自信我是對的。
我相信古典文學學者在文獻批評學中有一個基本的校勘原則——difficilior lectio potior ——越難解讀的越準確。若是坎特伯雷大主教告訴一我的他信仰上帝，而告訴另外一我的他不信，那麼第二個闡述更多是事實，由於若非如此，就沒法解釋他爲何這麼說，而有太多出色的理由能夠解釋爲何他要做第一個闡述——不管它是否爲真。類比一下，若是像拉馬努金這樣嚴格的印度教徒告訴我——他確實這麼作了——他並無肯定的信仰，那麼有100:1的機率，他說的是真實想法。

這個想法不足以讓拉馬努金傷害他雙親及他的印度朋友的感情。他不是一個理性的無神論者，而是一個嚴格意義上的「不可知論者」，他認爲印度教或其餘宗教都沒有什麼特別的好處或壞處。印度教比起，比方說吧，基督教來，更是一種謹守規矩的宗教，是否有信仰簡直無足輕重。若是拉馬努金的朋友以爲他接受了這種宗教傳統的教義，那麼拉馬努金沒有必要去讓他們幻滅，事實上，他實行着十分無害的，可能確有必要的少說真話原則。

關於拉馬努金信仰的這個問題自己並不重要，但也不算徹底離題，我確實但願盡我所能地着重強調一件事。拉馬努金身上難以理解的東西已經夠多了，沒有必要再誤入歧途，捏造神祕感。就我而言，我足夠喜歡他、愛慕他，所以我但願以理性主義者的態度來談論他。我想向大家說清楚，當拉馬努金健康溫馨地在劍橋生活時，儘管有些古怪，他和這裏全部人一樣理智，健全，而且以他特有的方式，一樣敏銳。我最不想看到大家作的事情就是舉起雙手認可「他身上有一些超乎理性的事情，古老的東方智慧，難以想象的現象。」我纔不相信什麼古老的東方智慧，我想介紹給大家的是一個像其餘偉人那樣有本身小怪癖的人，但倒是個能夠與人交往的，人們能以與他飲茶交談，討論政治和數學爲樂的人。總之，我要給大家看的不是來自東方的奇蹟，也不是蒙神啓示的白癡或心理怪誕的變態，而是一個恰巧成爲偉大數學家的理智之人。

直到大約17歲，拉馬努金都過的挺好。
1903年12月，他經過馬德拉斯大學的入學考試，翌年一月進入貢伯戈納姆政府大學的初級文科班學習，並得到蘇布拉馬尼亞姆(Subrahmanyam)獎學金，這一獎學金一般授予精通英語和數學的學生…．．．
但此後，一系列悲劇發生了。
到那時，他如此專心於數學研究，以至於把全部的課時——不管英語、歷史仍是生理學——都用於從事數學研究，對班裏發生的事漫不經心。過分投入於數學，長期忽視其餘學科，導致他未能升入高年級，隨後獎學金也中斷了。因爲失意，也因爲朋友的影響，他逃跑去了北邊的泰盧固(Telugu)地區，但浪遊了一段時間，又返回貢伯戈納姆，從新進入大學。因爲缺課，1905年他沒能保證足夠的出席率以獲得學期證實。1906年，他進入馬德拉斯的帕凱亞帕(Pachaiyappa)學院，但因病又回到貢伯戈納姆。1907年12月，他以我的學生身份參加一等文科考試，沒有經過……
直到1912年，除數學以外，拉馬努金彷佛沒有固定的職業。1909年他結婚了，必須找個長期，但因爲他不幸的大學經歷，找工做很是困難，大約1910年，他找到了比較有影響的印度朋友，拉馬斯瓦米· 耶爾和他的兩位傳記做者。他們盡力幫他找一個過得去的職位，但全部的努力均告失敗。1912年，他作了馬德拉斯港務局辦公室的辦事員，年薪大約30英鎊，那時，他差很少25歲，18至25歲是數學家一輩子中相當重要的年齡段，這段時光已經毀了。他的天賦再也沒能獲得充分發展。
拉馬努金此後的生活，無甚可談。他第一篇有價值的論文發表於1911年，1912年他的超常天分開始爲人所理解。值得注意的是，儘管印度人對他很友好，但惟有英國人有能力爲他作些實事。斯普林(F．Spring)先生和沃克(G．Walker)先生幫他弄到了特別獎學金，每一年60英鎊，足以讓一個已婚的印度人過得比較溫馨。1913年初他寫信給我，我與內維爾(Neville)教授克服了重重阻礙，1914年把他帶來英國。在這裏，整整三年，他毫無間斷地活躍工做着，其成果大家可在《論文集》中讀到。1917年夏天他得了病，再未真正康復，他仍繼續工做，固然只能斷斷續續地進行，但直到1920年逝世爲止，也沒有明顯的水準降低跡象。1918年初，他成爲皇家學會會員，同年稍晚，他成爲劍橋大學三一學院研究員(他是第一個同時得到這兩個頭銜的印度人)。去世前2個月他寫了最後一封數學信，主題是「仿-函數"，這也正是去年沃森教授向倫敦數學會作的主席演講的題目。

拉馬努金真正的悲劇不是早逝。固然任何偉人過早謝世都是災難，但30歲以上的數學家一般已比較老，他的死看似悲哀，也許實則否則。阿貝爾死於26歲，縱使他定然本可能爲數學增添許多內容，但他彷佛難以變得更偉大。拉馬努金的悲劇不在於他的夭亡，而是，在那不幸的5年中，他的天賦被引向歧途，受到束縛並在某種程度上被扭曲。
重讀16年前我寫的關於拉馬努金的文字，雖然說現在我比當初更瞭解他的工做，憶念起他也不復那般熾情，但我找不到太多特別想修正的地方。在我現在看來，只有一句話不可原諒。我寫道，

關於拉馬努金的工做有多重要，該用什麼樣的標準來評判他，他會給將來的數學帶來多大的影響，人們可能會衆說紛紜。他的工做缺少最偉大的工做所特有的簡明和必然性；若是它們不那麼奇特的話，會更偉大些。然而這些工做有同樣閃光點，是不容否定的，即深入和無可匹敵的首創性。如果他在年輕時更早被抓住和接受數學訓練，他可能會成爲一個更偉大的數學家，會發現更多全新的，而且，無疑是，更重要的東西。在另外一方面，那樣他就會變的再也不像拉馬努金，而更像一位歐洲教授，所失也可能會大於所得。

我堅持以上的觀點，只除開最後一句話，它着實是荒謬的感情用事。當貢伯戈納姆大學將他們曾擁有的一位偉人拒之門外時，他們固然一無所得，而損失卻不可彌補。這是我所知道的無能，僵化的教育體制形成損害的最糟糕的例子。他要求得那麼少，只要五年裏每一年給他60英鎊，讓他與任何有真知灼見並稍微有點想象力的人偶爾能有接觸，這世界就會獲得又一個最偉大的數學家。
拉馬努金給個人信全文重印在《論文集》中，包括大約120條定理的簡略敘述，大部分是從他的筆記本中摘錄的規範的恆等式。我引用了頗有表明性的15條，其中有兩條定理(14)和(15)，它們與其餘定理同樣有趣但其中一條是錯的，另外一條，這麼說吧，是誤入歧途了。其他的後來都被某些人證明了，尤爲是羅傑斯(Rogers)和沃森找到了特別困難的定理(10)一(12)的證實

(1)

(2)

(3)

(4)
(5)

(6)

(7)若,則

(8)

(9)

(10)

若

,

則

(11)

(12)

(13)若且
則
(14)展開後，的係數爲最接近的整數

(15)A與x之間的平方數或兩平方數之和的個數是

其中與前面的積分相比很小

我但願大家試着想像普通的數學教授收到一位籍籍無名的印度職員這樣一封信時的第一反應。
第一個問題是我是否能看出什麼東西。我本身證實過頗像(7)那樣的公式，對(8)模模糊糊有些熟悉。事實上(8)是經典的，它是拉普拉斯的一個公式，最先由雅可比證實。(9)出如今羅傑斯1907的一篇論文裏。做爲一位定積分專家，我也許能夠證實(5)和(6)，後來的確作到了這一點，儘管遇到的麻煩比我預想的要多得多。總之，積分公式看來沒給人留下什麼特別印象。
我發現級數公式(1)一(4)更有趣，很快就明顯看出，拉馬努金必定掌握了更基本的原理，袖裏還有乾坤。第二個是勒讓德(A．M．Legendre)級數理論中很著名的一個鮑爾(Bauer)公式，但其他的公式看似簡單實際很難。現在能夠在貝利(Bailey)關於超幾何函數的劍橋小冊子中找到這些公式的證實。
公式(10)一(13)有着大相徑庭的水準，顯然既困難又深奧。橢圓函數方面的專家可以馬上看出(13)是以某種方法從「復乘法」理論中推導出來的，但(10)一(12)徹底難倒了我，我從未見過與它們有絲毫相像的公式。單單瞧一眼就足以明白這些公式只能出自最高級的數學家之手。它們必定是對的，不然的話，沒人能具備這樣的想象力去發明它們。最後(你必須記住當時我對拉馬努金一無所知，不得不考慮每種可能性)，做者一定徹底誠實，由於具備這種難以想象的水平的小偷和騙子比偉大的數學家更難找到。

最後的兩個公式分開列出是由於它們不正確，這表現了拉馬努金的侷限，但仍然足以做爲拉馬努金非凡才能的額外證據。(14)中的函數是係數的真正近似，儘管不像拉馬努金想象的那麼接近。能夠說，拉馬努金的錯誤式子是他曾作出的最富成果的工做之一，由於它最終指引了咱們在劃分數上的一切合做研究。最後(15)，雖然確實是「對的」，卻必定會令人誤解(拉馬努金真的陷入了誤解)。做爲一個近似，式中的積分並不比1908年蘭道(Landau)發現的簡單函數

（16）

更精確。拉馬努金因素數分佈問題的一個錯誤類推被引入歧途。我稍後再談拉馬努金在數論方面的工做。
若要細究，一定會看出，拉馬努金很大一部分的工做是早已發現的。他面臨着不可逾越的障礙，一個貧窮孤寂的印度人和歐洲人世代積累起來的智慧拼腦子。他根本不曾獲得真正的教育，印度沒人有這個水準教他。他充其量只能見到三四本高質量的書，都是英語的。有段時間，他去了馬德拉斯的圖書館，但那不是一個好的圖書館，只有極少的幾本法文或德文書，並且不管如何拉馬努金對這兩門語言一竅不通。我估計拉馬努金在印度的最好工做大約三分之二是再發現，在他有生之年，只有至關少的一部分發表出來，不過沃森系統研究他的筆記本後發掘了更多的東西。
拉馬努金髮表的大部分工做是在英國作出的，他的頭腦已經僵化到必定程度，根本不可能變成「正統」的數學家，但他仍是學會了作新的工做，並且作得很是棒。系統地從頭教他是不可能的，但他逐漸吸取了一些新觀念。特別是他學會了什麼叫證實，他後期的論文，雖然在某些方面和從前同樣奇異和特別，但讀來已像受過良好教養的數學家的做品。不過他的方法和工具實質上從未變動。有人可能覺得拉馬努金這樣的形式主義者會對柯西(Cauchy)定理着迷，但是他從未用過它，他形式方面才能的最驚人的明證就是他從沒有必要用它。
很容易將拉馬努金再發現的定理彙編成一個使人印象深入的表。這樣一個表固然不會很清晰，由於有時他只發現了定理的一部分，有時雖然發現了完整的定理，但只要他能完全理解這個定理，就能找到證實，而他卻沒找到。例如，在解析數論中，從某種意義上說他發現了不少，但遠未理解這門學科的真正難點。他的一些工做，主要是橢圓函數論方面，仍然有好些沒弄清楚的地方。在沃森和莫德爾盡力研究以後，仍是不可能區分哪些是他蒙出來的，哪些是他本身真正發現的。我只選取其證實在我看來還算清楚的例子。①也許從未用過。在《論文集》第129頁有一處「餘數理論」的引用，但我確信這是我本人寫的。一一原注
在這裏我得認可我該受責備，由於有許多事情咱們如今想知道，而我原能夠輕易弄清楚。我幾乎每天見拉馬努金，稍加探問就能澄清大部分疑問。拉馬努金可以並且願意坦率回答，絲絕不會對他的成就故弄玄虛。我幾乎沒有問過他哪怕一個這種問題，我甚至從未問過他是否(我想他必定讀了)讀過凱萊(Cayley)的或格林希爾(Greenhill)的《橢圓函數》。
如今我對此表示抱歉，但此事並不真的有關緊要，實際上是很天然而然的事。首先，我不知道拉馬努金會死。他也不愛成天惦記着本身的過去和心理活動，他是一個熱心工做的數學家。歸根結底，我也是數學家，一個數學家遇到拉馬努金以後有的是遠比回顧過往更有意思的事情值得去想。當拉馬努金幾乎天天都將半打新公式拿給我看時，爲他如何發現這個或那個已知的定理而去煩他好像很好笑。

【資料】印度數學家拉馬努金（二）

【資料】印度數學家拉馬努金（一）

我認爲拉馬努金在古典數論中發現的很少，或者說他了解的確實也很少。任什麼時候候他對算術形式的通常理論都一無所知，我懷疑在來這裏以前他是否懂得二次互反律。丟番圖方程應該很適合他，但他在這方面作得比較少，作出的也不是他最好的工做。他給出歐拉方程

(17)

的解形如

（18）

以及

（19）

但這兩個都不是通常解

他從新發現了施陶特（von Staudt）關於伯努利數的著名定理：

（20）

其中是使得是約數的奇素數，是一個整數。很難說出他在何種意義上證實了這個定理，由於發現它時，他還幾乎不明確知道什麼是證實。正如利特爾伍德所說：「證實一詞的清晰定義，現在人們已經太熟悉了，幾乎相信這是與生俱來的概念，可他也許根本還不懂它。有時偶爾會出現一點有意義的推理片段，論據和直覺的完全混合讓他確信，除此以外他就無論了。」稍後我將談一談這個關於證實的問題，但要推遲到更重要的一段中。在這個定理上，尚未什麼明顯超出拉馬努金的證實能力範圍的東西。

很重要的一部分是關於數論的，特別是將整數表示成平方數之和的理論，它與橢圓函數理論關係密切。例如能表示成兩個平方數的之和的的表示方法個數是
（21）

其中 是形如的的因數的個數，是形如的的因數的個數，雅可比給出了4,6，和8個平方數的相似公式。拉馬努金髮現了全部這些，還有相同類型的另一些公式。
他還發現了勒讓德定理，即可寫成3個平方數之和，除非它具備

（22）

的形式。但我不認爲他發現這個算是多重要的事情。這個定理極易猜到但難以證實。全部已知的證實都依賴於三元形式的通常理論，而拉馬努金對此一無所知，我贊成迪克森(Dickson)教授認爲他極可能一點兒也沒掌握這一理論的觀點。不管如何他對於表示的數目一無所知。
這樣，拉馬努金在來英國以前，對數論的貢獻寥寥無幾。但若不能理解他對數字自己的熱愛，便沒法理解他。我曾寫道：
他能以幾近難以想象的方式記住數字的特性。利特爾伍德先生評價（我相信是他說的）「每一個正整數都是他的私人朋友。」我記得有一次，他在帕特尼臥病在牀，我去探望他。來時坐的出租車號是1729，我說，這個數字（=7×13×19）在我看來至關無趣，希望這不是什麼不祥之兆。「不」他回答道「這是個很是有趣的數，它是最小的能以兩種不一樣方式寫成兩立方和的數。①」我天然而然地問他，可否告訴我四次方狀況下的解是多少，想了一下子以後，他回答說，找不到明顯的例子，他認爲這樣的第一個數必定很是大。②
①——原注

②已知的最小數例由歐拉給出：——原注
在代數方面，拉馬努金的主要工做涉及超幾何級數和連分數(固然我是在傳統意義上用代數這個詞的)。這些課題簡直是爲他量身定作的，他是這些領域中無可非議的大師之一。如今有三個著名的恆等式，「杜格爾(Dougall)—拉馬努金恆等式」：

(23)

其中

和「羅傑斯-拉馬努金恆等式」：

(24)

 

英國數學家比拉馬努金更早發現這些恆等式，我將在其餘的演講中談論這些恆等式。至於超幾何級數，能夠粗略的這麼說，他從新發現了規範理論，這理論發表貝利的小冊子裏，直到1920年才爲人們所知。卡爾的書中談到過一些這個理論，克里斯托爾(Chrystal)的《代數學》中寫得更多，無疑拉馬努金是從這些書起步的。(1)一(4)這四個公式是他超幾何級數工做中很是獨特的例子。
他在連分數方面的傑做是包含定理(10)一(12)的關於

(25)

的工做。這一分數理論依賴於羅傑斯—拉馬努金恆等式，羅傑斯在拉馬努金以前作出了這個工做，但他在別的方面超過了羅傑斯，並且我所引用的定理是拉馬努金本身發現的。他還得出其餘的許多適用範圍廣並且至關漂亮的公式，其中像拉蓋爾(Laguerre)公式的

(26)

是極獨特的例子。沃森①最近證實了其中最使人印象深入的公式。拉馬努金的工做也許在這些領域中作得最好。我曾寫下：
①見G，N．沃森，「劍橋哲學會進展。，1935，卷31，第7頁。
他對代數公式的洞察力，無窮級數變換的能力等等，實在是最使人驚羨的。在這方面，我絕未見過堪與他旗鼓至關的人，只能拿他和歐拉或雅可比相提並論。他遠比大多數現代數學家更偏好從概括數例中得出結果，比方說，他對劃分數的同餘性質研究，就徹底是這麼來的。然而憑着他的記憶力，耐心，計算能力，再綜合起他概括推廣的力量，對數學形式的直覺，迅速修正本身假設的能力——這些每每着實使人稱奇——使得他，在他本身的領域內，當世無人可敵。
現在，我毫不認爲這種特別激烈的措辭太言過其實。也許公式的偉大時代已然結束，拉馬努金原該生在100年前；但他至今還是他的時代中最偉大的公式主義者。過去50年裏，有的是比拉馬努金更重要的——我猜有人必定會說是更偉大的——數學家，然而無人能在他獨有的領域中對抗他。若要玩一場他懂得比賽規則的遊戲，他可讓給世界上任何數學家15分。
在分析方面，拉馬努金的工做定然不會給人以深入印象，由於他不懂函數論，離開函數論就沒法從事真正的分析。他從卡爾或其餘的書中只能學到積分的形式部分，而這些已經被人反覆和深刻細緻地研究過了。然而拉馬努金仍然從新發現了數量驚人的最爲優美的解析恆等式。黎曼Zeta函數的函數方程

即

（27）

(用一種幾乎認不出來的符號）記在筆記本中。還有泊松（Poisson）的求和公式

（28）

其中

且。此外還有阿貝爾函數方程

（29）

其中

最近沃森，蒂奇馬什(Titchmarsh)和我本身作的關於「傅里葉(Fourier)函數核」及「反商函數」的工做，大部分的基礎規範思想都來源於拉馬努金，固然他可以求出任何可求值的定積分的值。有一個特別有趣的公式，即
(30)

這個公式他特別喜歡，總是用它。這是一個真正的「內插公式」，它使咱們能夠得出一些結論，例如在必定條件下，自變量的全部正項積分值爲零的函數必定也爲零。雖然這個公式與梅林(Mellin)及其餘人的工做密切相關，但我從未見到過其餘人明確地論述過它。①這個方程被羅傑斯從新發現，並且羅傑斯在《論文集（337頁）》中認爲是他的發現；但在阿貝爾死後未完成的做品中也發現了這個方程。——原注
還剩下拉馬努金早期工做中最迷人的最後兩個方面，橢圓函數和解析數論。第一方面，除了專家之外，可能任何人都會認爲它太過專業複雜，難於理解，如今我不打算談它，第二個科目其實更難(讀過蘭道關於素數的書或英哈姆[Ingham]小冊子的人都知道這一點)，但人人都能大體理解這個課題中的問題，並且每一個不錯的數學家都能大概明白何以這些問題擊敗了拉馬努金。這是拉馬努金真正的失敗，一如既往，他展現了驚人的想象力，但隨後他什麼也沒證實，甚至他想象的也有許可能是錯的。
這裏我不得不就一個很是困難的題目多說幾句：證實及其在數學中的重要性。一切物理學家和許多很是可敬的數學家都輕視證實。例如，我據說埃丁頓教授認爲：「純粹數學家理解的那種證實，實在乏味之極而又無足輕重，肯定本身發現了某種好東西后，誰會再浪費時間去尋找證實呢？」事實上埃丁頓是自相矛盾的，有時他甚至屈尊去作證實。對於他來講，只知道宇宙中正好有個質子並不夠，他禁不住誘惑要去證實它。我不由想，不管這個證實的價值怎樣，它給他帶來了某種智力上的知足感。毫無疑問他會辯解說「證實」對他和對一位純粹數學家的意義大相徑庭，不管如何咱們沒必要過多地去咬文嚼字。但對於他的觀點——我相信這觀點也是幾乎全部物理學家都打心底贊成的——身爲數學家，我有義務作出某種答覆。
我不打算糾纏於分析一個特別微妙的概念，但我想，關於證實，有幾個觀點是差很少全部數學家都同意的。首先，即便咱們並不確切地理解什麼是證實，但無論怎樣，在普通分析中，咱們看到證實時，總能認出來。其次，在任何證實的敘述中都有兩個不一樣的動機，第一個動機是保證結論的說服力，第二個動機是，從一系列已知正確的命題開始，把它們按必定順序排列起來，按慣用的模式推論，最後得出所要的結論。經驗代表，除了在最簡單的數學中，這兩種動機，若是不實現第二個，就幾乎不可能實現第一個。咱們能夠直接看出5或17是素數，但若是不去證實，沒人能確信是一個素數。沒人能擁有這樣生動和深入的想象力。
數學家常常經過直覺的嘗試來尋找定理，結論看來彷佛是對的，因而他着手於構造證實。有時候這是循序漸進的流程，任何受過良好訓練的專業人員都能完成，然而想象每每是極不可靠的嚮導。在解析數論中尤爲如此，連拉馬努金的想象力也將他引入不可救藥的迷途。
有一個驚人的錯誤假設，我常常用它做爲範例，它甚至差點獲得高斯的承認，駁倒它花了大約100年的時間。解析數論的中心問題是素數分佈問題。小於一個大數的素數個數大約爲
(31) ；
這就是「素數定理」，數學家們早就猜到了它，但直到1896年被阿達瑪(Hadamard)和瓦萊—普桑證實後，這個定理纔算是站住腳了。去掉近似偏差，更好的結果是
(32)①
在某些狀況下，更精確的結果是
(33)
(如今咱們沒必要爲級數構成的規律而煩惱)。很天然地推出，對不管多麼大的
(34)

①取積分主值

高斯和其餘數學家都認爲這個猜測很是多是真的。這個猜測不但看起來有道理，並且獲得全部事實的佐證。已知有10000000個素數，其數字間隔甚至達到1000000000，對於其中每個值(34)都是正確的。1912年，利特爾伍德證實了這個假設是錯誤的，存在無窮多個的值使得(34)中的不等號必須反過來。特別地，存在一個數使得對於小於的某個，(34)是錯的。利特爾伍德證實了的存在性，但他的方法並不能給出一個值，直到最近，斯凱維斯(Skewes)①才發現了一個可採用的值，即,我認爲這是數學中適用於某個明確目的的最大的數。宇宙中質子的個數大約是。國際象棋的可能局數更大一些，也許是·。（不管如何它必定是一個二重階指數)。若是宇宙是棋盤，質子是棋子，任意位置的兩個質子的交換是一着，那麼可能的棋局數就相似於斯凱維斯數。不管經過改良斯凱維斯的討論能夠將該數減少多少，看來咱們是不可能知道關於利特爾伍德定理正確性的例子了。

這個例子中，真理不只擊敗了全部事實證據和常識，並且甚至擊敗了屬於高斯的那樣有力而深入的數學想象力，固然它是從數論最困難的部分中選出來的。素數理論中沒有真正容易的部分，不過也能夠談談某種簡單的討論，雖然這種簡單討論不能證實什麼，卻也確實不會誤導咱們。

①S。斯凱維斯，倫敦數學會雜誌，1933，卷8，277頁。——原注

例如，簡單的討論可能會引導好的數學家獲得素數定理的結論
（35）①

或者，可獲得等價結論

（36）

其中是第個素數。

首先，咱們能夠從歐拉恆等式開始

（37）

這個式子對s＞1是正確的，但對於s=1，級數和乘積變成無窮。討論天然能夠推出，當s=1時，級數和乘積應以相同方式發散，同理

（38）

後一項級數在s=1時爲有限值，天然地推出

像那樣發散，

或者更精確地，對於大數

（39）

①意思是比趨於1。

又由於

因此公式（39）蘊涵了近似等於。

有一個似繁實簡的論證。

容易看出，能除盡的素數的最高次冪是

其中表示的整數部分。所以

(40)

由斯特靈(Stirling)定理知，(40)的左端其實是。至於右端，人們能夠認爲，素數的平方，立方，．．…·相對而言比較罕見，包含它們的項應當是不重要的，若是咱們用代替 ，引起偏差能夠忽略不計。於是咱們推出

這偏偏再次符合了約等於的結論。
這就是切比雪夫(Tchebychef)詳細推理過程的大略。他是第一個在素數理論中取得實質性進展的人，我想象拉馬努金也是以一樣的方式開始的，儘管筆記本上沒有什麼能代表這一點。惟一能夠確定的是，拉馬努金獨立發現了素數定理的形式，這是一項重大成就，在他以前發現這個定理的形式的人，如勒讓德、高斯和狄利克雷(Dirichlet)，都是很是偉大的數學家。拉馬努金還發現了其餘一些更爲深入的公式，也許最好的例子是(15)，用簡單函數(16)代替積分會更精確些，但正如它所表示的和1909年蘭道證實的那樣，拉馬努金的公式是正確的，而沒有什麼明顯的事實能引導他推出這一真理。
剩下要說的事實是，拉馬努金在這一領域的工做幾乎沒有什麼持久的價值。解析數論是數學中一個特殊的分支，其中證實實際上就是一切，而缺少絕對的嚴格則一文不值。發現素數定理的數學家的成就與那些發現其證實的人相比是不足掛齒的。不只在這一理論中(如利特爾伍德定理代表的)沒有證實就不能確信任何事實，雖然這事實自己可能很重要。素數定理以及其餘這一學科中重要定理的整個歷史代表，除非掌握了證實，不然不可能真正理解這一理論的結構和意義，也沒有什麼可靠的直覺能引導你進行下一步的研究。作出聰明的猜測是比較容易的，有些定理，像「哥德巴赫定理」①至今沒有任何人能證實它，但連傻瓜也可能猜測到它。
①任何大於2的偶數都是兩個素數之和。——原注
素數理論依賴於黎曼函數的性質，尤爲是其零點的分佈，是復變量s的解析函數。而拉馬努金對解析函數理論一無所知，我曾寫道：
對複變函數理論的無知毀了拉馬努金的素數理論。這是（這麼說吧）若是黎曼函數沒有復零點，他這個理論就是正確的。他的證實方法依賴於大規模使用發散級數，……能夠猜到，他的證實確定是站不住腳的。而更離譜的是，許多事實結果也弄錯了。儘管用了不正確的方式，他的確獲得了經典公式的主項；不過其中沒有一個能給出他期望的精確近似度。

能夠說這是拉馬努金的一場慘痛失敗。……

若是我當初就此打往，那我也沒必要再多說什麼。但我再一次聽任本身感情用事。我繼續議論「他的失敗比他的一切成功更美麗」，那天然是荒謬的言過其實。試圖把失敗假裝成別的什麼是無濟於事的。也許咱們能夠這樣說，他的失敗，從另外一個角度看，應當增添而不致減小咱們對他天賦的敬慕，由於它給了咱們額外的和驚人的佐證，證實他的想象力和全能性。然而，數學家的聲譽不能創建在失敗的嘗試和從新發現上，而根本上、必須公正的紮根在確切的和創造性的成就之上。我必須立足於此，爲拉馬努金辯護，但願在此後的演講中能作到這一點。註釋：這是1936年發表在哈佛文學和科學三百年記念大會上的兩篇演講中的前一篇，而且造成了哈代的著做《拉馬努金：關於他平生和工做的十二篇演講》(劍橋，1940)的演講l。第二篇演講逐漸擴充成其他的十一篇演講。無疑哈佛演講稿出自哈代5月5日和同年5月20日在英國劍橋以「S，拉馬努金的平生和科學工做」爲題作的兩次公開演講，次年(1937，春季學期)他以「聯繫拉馬努金工做的數學問題」爲題開了24節課程。