堆排序學習筆記及堆排序算法的python實現

堆排序(Heapsort)是指利用堆積樹（堆）這種數據結構所設計的一種排序算法，它是選擇排序的一種。能夠利用數組的特色快速定位指定索引的元素。堆分爲大根堆和小根堆，是徹底二叉樹。大根堆的要求是每一個節點的值都不大於其父節點的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在數組的非降序排序中，須要使用的就是大根堆，由於根據大根堆的要求可知，最大的值必定在堆頂。

堆排序是一種選擇排序，其時間複雜度爲O(nlogn).

堆的定義

    n個元素的序列{k₁，k₂，…,k_n}當且僅當知足下列關係之一時，稱之爲堆。

　　    情形1：k_i <= k_2i 且k_i <= k_2i+1 （最小化堆或小頂堆）

　　    情形2：k_i >= k_2i 且k_i >= k_2i+1 （最大化堆或大頂堆）

　　    其中i=1,2,…,n/2向下取整;

       堆能夠當作是一個徹底二叉樹。徹底二叉樹中全部非終端結點的值均不大於（或不小於）其左右孩子結點的值。堆頂元素（徹底二叉樹的根）必爲序列中的最大或最小值。

        若在輸出堆頂的最小值以後，使得剩餘n-1個元素的序列重又建成一個堆，則獲得n個元素的次小值。如此反覆執行，便能獲得一個有序序列，這個過程稱之爲堆排序。

　　堆排序（Heap Sort）只須要一個記錄元素大小的輔助空間（供交換用），每一個待排序的記錄僅佔有一個存儲空間。

堆的存儲：

    通常用數組表示堆，若根結點存在序號0處， i結點的父結點下標就爲(i-1)/2。i結點的左右子結點下標分別爲2*i+1和2*i+2。（注：若是根結點是從1開始，則左右孩子結點分別是2i和2i+1。）

堆排序的實現

    實現堆排序須要解決兩個問題：

            一、如何由一個無序序列建成一個堆？

            二、如何在輸出堆頂元素以後，調整剩餘元素成爲一個新的堆。

    對於第二個問題，通常在輸出堆頂元素以後，視爲將這個元素排除，而後用表中的最後一個元素填補它的位置，自下向上調整：首先，將堆頂元素和它的左右子樹的根節點進行比較，把最小的元素交換到堆頂；而後，順着被破壞的路徑一路調整下去，直至葉子節點，就獲得新的堆。咱們稱這個自堆頂至葉子的調整過程爲「篩選」。

構造初始堆

   給定一個數組，首先，根據該數組元素構造一個徹底二叉樹；而後，從最後一個非葉子結點開始，每次都是從父結點、左孩子、右孩子中進行比較交換，交換可能會引發孩子結點不知足堆的性質，因此每次交換以後須要從新對被交換的孩子結點進行調整。

 

進行堆排序

  其基本思想爲(大頂堆)：

        1)將初始待排序關鍵字序列(R1,R2....Rn)構建成大頂堆，此堆爲初始的無序區；

         2)將堆頂元素R[1]與最後一個元素R[n]交換，此時獲得新的無序區(R1,R2,......Rn-1)和新的有序區(Rn),且知足R[1,2...n-1]<=R[n]; 

         3)因爲交換後新的堆頂R[1]可能違反堆的性質，所以須要對當前無序區(R1,R2,......Rn-1)調整爲新堆，而後再次將R[1]與無序區最後一個元素交換，獲得新的無序區(R1,R2....Rn-2)和新的有序區(Rn-1,Rn)。不斷重複此過程直到有序區的元素個數爲n-1，則整個排序過程完成。

實例：

    此處是參照一篇博客總結的，大體內容都是這個博客中的（堆排序 Heap Sort）。

    1.初始的堆結構

             

    2.交換堆頂的元素和最後一個元素，此時最後一個位置做爲有序區（有序區顯示爲***），而後進行其餘無序區的堆調整，從新獲得大頂堆後，交換堆頂和倒數第二個元素的位置……

                

             想獲得升序，則創建大頂堆，若想獲得降序，則創建小頂堆。

堆排序分析

　　堆排序方法對記錄數較少的文件並不值得提倡，但對n較大的文件仍是頗有效的。由於其運行時間主要耗費在建初始堆和調整建新堆時進行的反覆「篩選」上。

　　堆排序在最壞的狀況下，其時間複雜度也爲O(nlogn)。相對於快速排序來講，這是堆排序的最大優勢。此外，堆排序僅需一個記錄大小的供交換用的輔助存儲空間。

python代碼實現：

def fixDown(a,k,n): #自頂向下堆化，從k開始堆化
    N=n-1
    while 2*k<=N:
        j=2*k
        if j<N and a[j]<a[j+1]: #選出左右孩子節點中更大的那個
            j+=1
        if a[k]<a[j]:
            a[k],a[j]=a[j],a[k]
            k=j
        else:
            break
 
def heapSort(l):
    n=len(l)-1
    for i in range(n//2,0,-1):
        fixDown(l,i,len(l))
    while n>1:
        l[1],l[n]=l[n],l[1]
        fixDown(l,1,n)
        n-=1
    return l[1:]
 
l=[-1,26,5,77,1,61,11,59,15,48,19] #第一個元素不用，佔位
res=heapSort(l)
print(res)