人臉識別圖像處理——PCA

本科論文作的是人臉識別，對一些算法進行復習。。。

概念

PCA （主成分分析算法）主要用於減小數據集的維數，同時保持數據集中方差最大的貢獻。（個人理解是，圖像處理時，數據量太大，一般須要下降數據維數，可是又但願保留貢獻大的特徵數據，PCA就是保留主要成分的降維算法）。人臉識別中，利用PCA算法構建特徵臉。

算法實現流程

 PCA降維過程：

一、每一個樣本（一張人臉圖像 92*112=10304）做爲一個行向量，全部樣本（200張人臉圖像）共同構建成一個矩陣（200x10304）

二、求矩陣的協方差矩陣（協方差簡單的說就是兩個維度的相關性的度量，協方差矩陣是每兩個維度的協方差組成的一個矩陣）

三、求協方差矩陣的特徵值和特徵向量

四、將特徵向量按特徵值大小組合成一個映射矩陣，取前k列（或k行）做爲最終映射矩陣。（n就是你要保留的維度數）

五、映射矩陣乘以原始數據構成的矩陣，達到降維效果。

快速PCA:

樣本矩陣Z_nxd中的每一個樣本減去樣本平均值m後的矩陣，則散佈矩陣S（就是協方差矩陣）爲(Z^TZ)dxd。如今考慮矩陣R=(ZZ^T)nxn，在本文中的人臉識別系統，n=200，d=10304,d遠遠大於n，但他們有相同的特徵值。

         設n爲列向量v是R的特徵值f對應的特徵向量，則有：(ZZ^T)v=fv

         上式兩邊同時左乘Z^T，並應用矩陣乘法結合律得：(Z^TZ)(Z^Tv)=f(Z^Tv)

        Z^Tv散佈矩陣S的特徵值f對應的特徵向量e=Z^Tv。所以，咱們能夠計算小矩陣R=(ZZ^T)nxn的特徵向量v，以後左乘Z^T獲得散佈矩陣S的特徵向量 Z^Tv。

注：這裏給出了新的協方差矩陣的計算方法。。。。。。。。

代碼

function [pcaA V] = fastPCA( A, k )
% 快速PCA
%
% 輸入：A --- 樣本矩陣，每行爲一個樣本
%      k --- 降維至 k 維
%
% 輸出：pcaA --- 降維後的 k 維樣本特徵向量組成的矩陣，每行一個樣本，列數 k 爲降維後的樣本特徵維數
%      V --- 主成分向量

[r c] = size(A);

% 樣本均值
meanVec = mean(A);

%DASF
% 計算協方差矩陣的轉置 covMatT(Z 200x10304 ,Z' 10304x200)
Z = (A-repmat(meanVec, r, 1));
covMatT = Z * Z';

% 計算 covMatT 的前 k 個特徵值和特徵向量(10304xk)
[V D] = eigs(covMatT, k);

% 獲得協方差矩陣 (covMatT)' 的特徵向量
V = Z' * V;

% 特徵向量歸一化爲單位特徵向量
for i=1:k
    V(:,i)=V(:,i)/norm(V(:,i));
end

% 線性變換（投影）降維至 k 維（200xk）
pcaA = Z * V;

% 保存變換矩陣 V 和變換原點 meanVec
save('Mat/PCA.mat', 'V', 'meanVec');