數據結構和算法(Golang實現)(10)基礎知識-算法複雜度主方法

時間  2020-05-10
標籤 數據 結構 算法 golang 實現 基礎 知識 複雜度 方法 欄目 Go 简体版
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算法複雜度主方法

有時候，咱們要評估一個算法的複雜度，可是算法被分散爲幾個遞歸的子問題，這樣評估起來很難，有一個數學公式能夠很快地評估出來。算法

1、複雜度主方法

主方法，也能夠叫主定理。對於那些用分治法，有遞推關係式的算法，能夠很快求出其複雜度。segmentfault

定義以下：數組

若是對證實感興趣的能夠翻閱書籍：《算法導論》。若是以爲太難思考，能夠跳過該節。數據結構

因爲主定理的公式十分複雜，因此這裏有一種比較簡化的版原本計算：併發

2、舉例

  1. 二分搜索，每次問題規模減半，只查一個數，遞推過程以外的查找複雜度爲O(1)，遞推運算時間公式爲：T(n) = T(n/2) + O(1)。
  2. 快速排序，每次隨機選一個數字做爲劃分進行排序，每次問題規模減半，遞推過程以外的排序複雜度爲O(n)，遞推運算時間遞推公式爲：T(n) = 2T(n/2) + O(n)。

按照簡化版的主定理，能夠知道：數據結構和算法

二分查找：a = 1，b = 2，d = 0，能夠知道a = b^d，因此二分查找的時間複雜度爲：O(logn)。函數

快速排序：a = 2，b = 2，d = 1，能夠知道a = b^d，因此快速排序的時間複雜度爲：O(nlogn)。spa

強調：並不是全部遞推關係式均可應用主定理，可是大部分狀況下均可以。code

由於須要較多的數學知識，因此咱們只簡單介紹到這裏。協程

延伸-計算理論：P和NP問題

在計算機科學中，有一個專門的分支研究問題的可計算性，叫作計算理論。

咱們用計算機算法來解決一個問題，若是一個問題被證實很難計算，或者只能暴力枚舉來解決，那麼咱們就沒必要花大力氣去質疑使用的算法是否是錯了，爲何這麼慢，計算怎麼久都沒出結果，到底有沒有更好的算法。

計算機科學把一個待解決的問題分類爲：P問題，NP問題，NPC問題，NP-hard問題。

1、P 和 NP 問題

相似於O(1)，O(logn)，O(n)等複雜度，規模n出如今底數的位置，計算機能在多項式時間解決，咱們稱爲多項式級的複雜。

相似於O(n!)，O(2^n)等複雜度，規模n出如今頂部的位置，計算機能在非多項式時間解決，咱們稱爲非多項式級的複雜度。

若是一個問題，能夠用一個算法在多項式時間內解決，它稱爲P問題(P爲Polynominal的縮寫，多項式)。

好比求1加到100的總和，它的時間複雜度是O(n)，是多項式時間。

然而有些問題，只能用枚舉的方式求解，時間複雜度是指數級別，非多項式時間，可是隻要有一個解，咱們能在多項式時間驗證這個解是對的，這類問題稱爲NP問題。

也就是說，若是咱們只能靠猜出問題的一個解，而後能夠用多項式時間來驗證這個解，這些問題都是NP問題。

因此，按照定義，全部的P問題都是NP問題。

計算理論延伸出了圖靈機理論，自動機=算法。

有兩種自動機，一種是肯定性自動機，機器從一個狀態到另一個狀態的變化，只有一個分支能夠走，而非肯定性自動機，從一個狀態到另一個狀態，有多個分支能夠走。P問題均可以用兩種機器來解決，當非肯定性自動機退化就變成了肯定性自動機，而NP問題只能用非肯定性自動機來解決。

自動機對N和NP問題的定義：

能夠在肯定性自動機以多項式時間解決的問題，稱爲P問題，能夠在多項式時間驗證答案的問題稱爲NP問題。而NP問題是能夠在非肯定型自動機以多項式時間解決的問題（NP兩字爲Non-deterministicPolynomial的縮寫，非肯定多項式）。

數學，計算機科學，哲學，三個學科其實交融在一塊兒，自動機是一臺假想的機器，世界其實也能夠認爲是一個假想的機器，因此世界能夠等於一臺自動機嗎，你們能夠發揮想象力，在之後的日子裏慢慢體會，建議購買書籍《計算理論》補習相關知識。

2、NPC 和 NP-hard 問題

存在這樣一個NP問題，全部的NP問題均可以約化成它。換句話說，只要解決了這個問題，那麼全部的NP問題都解決了。其定義要知足2個條件：

  1. 它得是一個NP問題。
  2. 全部的NP問題均可以約化到它。

這種問題稱爲NP徹底問題（NPC）。按照這種定義，NP問題要比NPC問題的範圍廣。

那什麼是NP-hard問題，其定義要知足2個條件：

  1. 全部的NP問題均可以約化到它。
  2. 它不是一個NP問題。

也就是說，NP-hard問題更難，你只要解決了NP-hard問題，那麼全部的NP問題均可以解決。可是，這個問題自己不是一個NP問題，也就是解不能在多項式時間內被驗證。

好比你有一個交際網，每一個人是一個節點，認識的人之間相連。你要經過一個最快、最省錢、最能提高你我的形象、最沒有威脅、最不影響你平常生活的方式認識一個萌妹，你怎麼證實你認識這個萌妹是最省錢的呢？-來自知乎回答。

咱們一旦發現一個問題是NPC問題，那麼咱們很難去準確求出其解，只能暴力枚舉，靠猜。

3、總結

各種問題能夠用這個圖來表示：

"P=NP" 問題的目標，就是想要知道P和NP這兩個集合是否相等。爲了證實兩個集合（A和B）相等，通常都要證實兩個方向：

  1. A包含B。
  2. B包含A。

咱們已經說過NP包含了P。由於任何一個非肯定性機器，都能被當成一個肯定性的機器來用。你只要不使用它的「超能力」，在每一個分支點只探索一條路徑就行。

因此 "P=NP" 就在於P是否也包含了NP。也就是說，若是隻使用肯定性計算機，可否在多項式時間以內，解決全部非肯定性計算機能在多項式時間內解決的問題。

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我是陳星星，歡迎閱讀我親自寫的 數據結構和算法(Golang實現)，文章首發於 閱讀更友好的GitBook。

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