數據結構和算法(Golang實現)(9)基礎知識-算法複雜度及漸進符號

時間 2020-05-10

標籤數據結構算法 golang 實現基礎知識複雜度漸進符號欄目 Go 简体版

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算法複雜度及漸進符號

1、算法複雜度

首先每一個程序運行過程當中，都要佔用必定的計算機資源，好比內存，磁盤等，這些是空間，計算過程當中須要判斷，循環執行某些邏輯，周而反覆，這些是時間。算法

那麼一個算法有多好，多快，怎麼衡量一個算法的好壞？因此，計算機科學在算法分析過程當中，提出了算法複雜度理論，這套理論能夠量化算法的效率，以此做爲標準，方便咱們能衡量到底選擇哪種算法。segmentfault

複雜度有兩個維度：時間和空間。數組

咱們說，一個實現了某算法的程序：數據結構

若是計算的速度越快，那麼這個算法時間複雜度越低。
若是佔用的計算資源越少，那麼空間複雜度越低。

咱們要選擇複雜度低的算法，衡量好空間和時間的消耗，選出適合特定場景的算法。併發

這兩個複雜度維度的量化過程都是同樣的，因此咱們這裏主要介紹時間複雜度。數據結構和算法

2、算法規模

咱們要計算公式1 + 2 + 3 + ... + 100，那麼按照最直觀的算法來寫：函數

package main

import "fmt"

func sum(n int) int {
    total := 0
    // 從1加到N, 1+2+3+4+5+..+N
    for i := 1; i <= n; i++ {
        total = total + i
    }
    return total
}

func main() {
    fmt.Println(sum(100))
}

當n = 10時就等於咱們要計算的公式。這個算法要循環n-1次，當n很小時，計算很快，但當n無限大的時候，計算很慢。spa

因此，算法衡量要衡量的是在不一樣問題規模 n下，算法的速度。code

在這裏，由於要循環計算n-1次，而當n無限大時，常數項基本忽略不計，因此這個算法的時間複雜度，咱們用O(n)來表示。協程

咱們有另一種計算方式：

func sum2(n int) int {
    total := ((1 + n) * n) / 2
    return total
}

此次算法只需執行1次，因此這個算法的時間複雜度是O(1)。能夠看出，時間複雜度爲O(1)的算法優於複雜度爲O(n)的算法。

固然，還有指數級別的好比以前的漢諾塔算法，對數級別的，階乘級別的複雜度，如O(2^n)，O(n!)，O(logn)等。

算法的優先級排列以下，通常排在上面的要優於排在下面的：

常數複雜度：O(1)
對數複雜度：O(logn)
一次方複雜度：O(n)
一次方乘對數複雜度：O(nlogn)
乘方複雜度：O(n^2)，O(n^3)
指數複雜度：O(2^n)
階乘複雜度：O(n!)
無限大指數複雜度：O(n^n)

3、漸進符號

如何量化一個複雜度，到底有多複雜，計算機科學抽象出了幾個複雜度漸進符號。

漸進符號以下：

O，ο，Θ，Ω，ω

分別讀做：Omicron（大歐），omicron（小歐），Theta（西塔），Omega（大歐米伽），omega（小歐米伽）。

3.1. 漸進符號：Θ

假設算法A的運行時間表達式：

T(n)= 5 * n^3 + 4 * n^2

若是問題規模n足夠大，那麼低次方的項將無足輕重，運行時間主要取決於高次方的第一項：5*n^3。

隨着n的增大，第一項的5*n^3中的常數5也無足輕重了。

因此算法A的運行時間T(n)約等於n^3。記爲：

T(n) = Θ(n^3)

Θ的數學含義:

設 f(n)和 g(n)是定義域 n爲天然數集合的函數，兩個函數同階，也就是當 n無窮大時， f(n)/g(n)等於某個大於0的常數 c。
也能夠說，存在正常量 c1， c2和 n0，對於全部 n >= n0，有 0 <= c1 * g(n) <= f(n) <= c2 * g(n)。
那麼能夠記 f(n) = Θ(g(n))， g(n)是 f(n)的漸進緊確界。

3.2. 漸進符號：O

O的數學含義:

設 f(n)和 g(n)是定義域 n爲天然數集合的函數， f(n)函數的階不高於 g(n)函數的階。
也能夠說，存在正常量 c和 n0，對於全部 n >= n0，有 0 <= f(n) <= c * g(n)。
那麼能夠記 f(n) = O(g(n))。 g(n)是 f(n)的漸進上界。

3.3. 漸進符號：Ω

Ω的數學含義:

設 f(n)和 g(n)是定義域 n爲天然數集合的函數， f(n)函數的階不低於 g(n)函數的階。
也能夠說，存在正常量 c和 n0，對於全部 n >= n0，有 0 <= cg(n) <= f(n)。
那麼能夠記 f(n) = Ω(g(n))。 g(n)是 f(n)的漸進下界。

3.4. 漸進分析

上面的定義很複雜，咱們能夠來看圖：

當n值超過某個值時，f(n)被g(n)兩條線夾在中間，那麼g(n)就是漸進緊確界。

若是g(n)的線在上面，就是漸進上界。

若是g(n)線在下面，就是漸進下界。

咱們通常會評估一個算法的漸進上界O，由於這表示算法的最壞狀況，這個上界能夠十分不許確，但咱們通常會評估得足夠準確，好比：

設 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，咱們要求漸進上界。

那麼：

f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3
f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4

兩個g(n)都是上界，由於令c = 5時都存在：0 <= f(n) <= c * g(n))。

咱們會取乘方更小的那個，由於這個界更逼近f(n)自己，因此咱們通常說f(n) = O(n^3)，算法的複雜度爲大歐n的三次方，表示最壞狀況。

同理，漸進下界Ω恰好與漸進上界相反，表示最好狀況。好比仍是這個假設：

設 f(n) = 5 * n^3 + 4 * n^2，咱們要求漸進下界。

那麼：

f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3
f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

兩個g(n)都是下界，由於令c =5時都存在：0 <= cg(n) <= f(n)。

咱們準確評估的時候，要取乘方更大的那個，由於這個界更逼近f(n)自己，因此咱們通常說f(n) = Ω(n^3)，算法的複雜度爲大歐米伽n的三次方，表示最好狀況。

咱們發現當f(n) = Ω(n^3) = O(n^3)時，其實f(n) = Θ(n)。

另外兩個漸進符號ο和ω通常不多使用，指不那麼緊密的上下界。

也就是評估的時候，不那麼準確去評估，在評估最壞狀況的時候使勁地往壞了評估，評估最好狀況則使勁往好的評估，可是它不能剛恰好，好比上面的結果：

f(n) = O(n^3)，g(n) = n^3
f(n) = O(n^4)，g(n) = n^4
f(n) = Ω(n^3)，g(n) = n^3
f(n) = Ω(n^2)，g(n) = n^2

咱們能夠說：

f(n) = ο(n^4)，g(n) = n^4  往高階的評估，不能同階
f(n) = ω(n^2)，g(n) = n^2  往低階的評估，不能同階

4、總結

咱們通常用O漸進上界來評估一個算法的時間複雜度，表示逼近的最壞狀況。其餘漸進符合基本不怎麼使用。

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我是陳星星，歡迎閱讀我親自寫的 數據結構和算法(Golang實現)，文章首發於閱讀更友好的GitBook。

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