LeetCode 221. 最大正方形 | Python

221. 最大正方形

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題目來源：https://leetcode-cn.com/problems/maximal-square

題目

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在一個由 0 和 1 組成的二維矩陣內，找到只包含 1 的最大正方形，並返回其面積。

示例:

輸入: 

1 0 1 0 0
1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 1 0

輸出: 4

解題思路

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思路：動態規劃

本篇幅使用動態規劃的原理來解決該問題。咱們用 dp(i, j) 表示以 (i, j) 爲右下角，且只包含 1 的正方形的邊長最大值。若是可以求出全部的 dp(i, j) 值，其中最大值就是最大正方形的邊長，其平方就是咱們要求的面積。

根據題意要求，所給的二維矩陣內，只有包含 1 的才能構造正方形。若是 dp(i, j) =爲 0 的狀況下，討論是否可以構成正方形並求出最長邊就沒有意義，由於這位置不能在構成由 1 組成的正方形中。

那麼若是該位置爲 1 的狀況下，就須要考慮三個位置的狀況，以下圖：

先看下構成正方形的狀況，結合上面的圖示，若是當前的值爲 1，那麼要找出最長的邊，就須要考慮從當前位置出發，上面，左邊，左上的值都必須是 1，只有這樣，再加上當前位置纔有可能構成正方形。

也就是說，這三個方向都不能是 0。可是若是當前位置爲 1，但三個方向受限制的狀況下，三個方向的邊不必定都同樣，那麼構成的正方形的邊長則須要取三者最短邊，再加 1，表示加上當前的位置。

具體如上示圖，上面的數字表示以此爲正方形右下角的最大邊長，其中 ？ 表示做爲右下角的正方形區域。

其中左圖，受左上角 0 的限制，這裏可構成的正方形的最長邊爲 3。

中間的圖例中，受上邊 0 的限制，這裏可構成的正方形的最長邊爲 2。

最後的圖例中，受左邊 0 的限制，這裏可構成的正方形的最長邊爲 2。

能夠看出，得出的最長邊都是上，左，左上三個正方形中最小邊長 + 1。

因此狀態轉移方程爲：

dp(i, j) = min(dp(i-1, j), dp(i-1, j-1), dp(i, j-1)) + 1

那麼具體的代碼實現以下。

代碼實現

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class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        if len(matrix) == 0:
            return 0
        
        rows = len(matrix)
        cols = len(matrix[0])
        
        max_side = 0
        dp = [[0] * cols for _ in range(rows)]
        for i in range(rows):
            for j in range(cols):
                # 當前的值爲 1 時，考慮求構成正方形的最長邊
                if matrix[i][j] == '1':
                    # 當前值爲 1，處於首行首列時，不考慮左，上，左上三個方向
                    if i == 0 or j == 0:
                        dp[i][j] = 1
                    else:
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1], dp[i][j-1]) + 1
                    max_side = max(max_side, dp[i][j])
        
        square = max_side ** 2
        return square

實現效果

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以上就是使用動態規劃，找出最長邊，進而解決《221. 最大正方形》問題的主要內容。

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