時間複雜度和空間複雜度

時間  2019-12-08
標籤 時間 複雜度 空間 简体版
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數據結構和算法自己解決的是「快」和「省」的問題，即如何讓代碼運行得更快，如何讓代碼更省存儲空間。因此，執行效率是算法一個很是重要的考量指標。那如何來衡量你編寫的算法代碼的執行效率呢？這裏就要用到咱們今天要講的內容：時間、空間複雜度分析。java

爲何須要複雜度分析？

首先，我能夠確定地說，你這種評估算法執行效率的方法是正確的。不少數據結構和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫過後統計法。可是，這種統計方法有很是大的侷限性。算法

    1. 測試結果很是依賴測試環境

測試環境中硬件的不一樣會對測試結果有很大的影響。好比，咱們拿一樣一段代碼，分別用 Intel Core i9 處理器和 Intel Core i3 處理器來運行，不用說，i9 處理器要比 i3 處理器執行的速度快不少。還有，好比本來在這臺機器上 a 代碼執行的速度比 b 代碼要快，等咱們換到另外一臺機器上時，可能會有截然相反的結果。數組

    1. 測試結果受數據規模的影響很大

後面咱們會講排序算法，咱們先拿它舉個例子。對同一個排序算法，待排序數據的有序度不同，排序的執行時間就會有很大的差異。極端狀況下，若是數據已是有序的，那排序算法不須要作任何操做，執行時間就會很是短。除此以外，若是測試數據規模過小，測試結果可能沒法真實地反應算法的性能。好比，對於小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！數據結構

因此，咱們須要一個不用具體的測試數據來測試，就能夠粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是咱們今天要講的時間、空間複雜度分析方法。數據結構和算法

大 O 複雜度表示法

算法的執行效率，粗略地講，就是算法代碼執行的時間函數

這裏有段很是簡單的代碼，求 1,2,3…n 的累加和。如今，我就帶你一塊來估算一下這段代碼的執行時間。性能

1function cal(n) {
2   var sum = 0;
3   var i = 1;
4   for (; i <= n; ++i) {
5     sum = sum + i;
6   }
7   return sum;
8 }

從 CPU 的角度來看，這段代碼的每一行都執行着相似的操做：讀數據-運算-寫數據。儘管每行代碼對應的 CPU 執行的個數、執行的時間都不同，可是，咱們這裏只是粗略估計，因此能夠假設每行代碼執行的時間都同樣，爲 unit_time。在這個假設的基礎之上，這段代碼的總執行時間是多少呢？測試

第 二、3 行代碼分別須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 四、5 行都運行了 n 遍，因此須要 2nunit_time 的執行時間，因此這段代碼總的執行時間就是 (2n+2)unit_time。能夠看出來，全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數成正比。優化

按照這個分析思路，咱們再來看這段代碼。spa

1funtion cal(n) {
2   var sum = 0;
3   var i = 1;
4   var  j = 1;
5    for (; i <= n; ++i) {
6     j = 1;
7     for (; j <= n; ++j) {
8       sum = sum +  i * j;
9     }
10   }
11}

咱們依舊假設每一個語句的執行時間是 unit_time。那這段代碼的總執行時間 T(n) 是多少呢？

第 二、三、4 行代碼，每行都須要 1 個 unit_time 的執行時間，第 五、6 行代碼循環執行了 n 遍，須要 2n * unit_time 的執行時間，第 七、8 行代碼循環執行了 n2遍，因此須要 2n2 * unit_time 的執行時間。因此，整段代碼總的執行時間

T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time。

儘管咱們不知道 unit_time 的具體值，可是經過這兩段代碼執行時間的推導過程，咱們能夠獲得一個很是重要的規律:

全部代碼的執行時間 T(n) 與每行代碼的執行次數 n 成正比

T(n) = O((f(n))

我來具體解釋一下這個公式。其中，T(n) 咱們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n 表示數據規模的大小；f(n) 表示每行代碼執行的次數總和。由於這是一個公式，因此用 f(n) 來表示。公式中的 O，表示代碼的執行時間 T(n) 與 f(n) 表達式成正比。

因此，第一個例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二個例子中的 T(n) = O(2n2+2n+3)。這就是大 O 時間複雜度表示法。大 O 時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增加的變化趨勢，因此，也叫做漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。

當 n 很大時，你能夠把它想象成 10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增加趨勢，因此均可以忽略。咱們只須要記錄一個最大量級就能夠了，若是用大 O 表示法表示剛講的那兩段代碼的時間複雜度，就能夠記爲：

T(n) = O(n)； T(n) = O(n2)。

推導的過程

T(n) = (2n+2)*unit_time -> T(n) = O(2n+2) -> T(n) = O(n)
T(n) = (2n2+2n+3)*unit_time => T(n) = O(2n2+2n+3) -> T(n) = O(n2)

時間複雜度分析

如何分析一段代碼的時間複雜度？三個比較實用的方法

  1. 只關注循環執行次數最多的的一段代碼
    大 O 這種複雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。咱們一般會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只須要記錄一個最大階的量級就能夠了。因此，咱們在分析一個算法、一段代碼的時間複雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就能夠了。這段核心代碼執行次數的 n 的量級，就是整段要分析代碼的時間複雜度。
    1function cal(n) { 2 var sum = 0; 3 var i = 1; 4 for (; i <= n; ++i) { 5 sum = sum + i; 6 } 7 return sum; 8 }
    2.3代碼都是常量級別的執行時間，與n的大小無關，因此對於複雜度並無影響。循環執行次數最多的是滴四、5行代碼，因此這塊代碼要重點分析。那兩行代碼執行了n次，因此總的時間複雜度就是O(n)

  2. 加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度

    綜合這三段代碼的時間複雜度(分別是O(1), O(n), O(n2))，咱們取其中最大的量級。因此，整段代碼的時間複雜度就爲 O(n2)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段代碼的時間複雜度。那咱們將這個規律抽象成公式就是：

    若是 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).

  3. 乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積
    相似嵌套循環的，都是用乘法來處理

    大O

  • O(1),O(n),O(nlogn),O(nlogn),O(n^2)
  • 大O描述的是算法的運行時間和輸入數據之間的關係

O(n)是nums中的元素個數算法和n呈線性關係，忽略了常數。實際是

T = c1*n + c2;
可是
T = 2*n + 2 O(n)
T = 2000*n + 10000 O(n)
T = 1*n*n + 0 O(n^2)

上面的表達式中第三個n下於3000的時候都是比前面的要小的，可是在n接近無窮的時候，
就是不同了，因此O是漸進時間複雜度描述n趨近於無窮的狀況
  • O通常是計算最壞的結果
  • 均攤複雜度，有時早規律出現的時候可使用均攤複雜度
  • 複雜度震盪，在邊界狀況下，來回操做，過於着急（Eager)解決方案就是Lazy

Big O graphs

源: Big O Cheat Sheet.

如下是一些最經常使用的 大O標記法 列表以及它們與不一樣大小輸入數據的性能比較。

大O標記法 計算10個元素 計算100個元素 計算1000個元素
O(1) 1 1 1
O(log N) 3 6 9
O(N) 10 100 1000
O(N log N) 30 600 9000
O(N^2) 100 10000 1000000
O(2^N) 1024 1.26e+29 1.07e+301
O(N!) 3628800 9.3e+157 4.02e+2567

O(log N)和O(N log N)分析

對數階時間複雜度很是常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。我經過一個例子來講明一下。

i=1;
while (i <= n)  {
     i = i * 2;
}

根據咱們前面講的複雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。因此，咱們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。

從代碼中能夠看出，變量 i 的值從 1 開始取，每循環一次就乘以 2。當大於 n 時，循環結束。還記得咱們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量 i 的取值就是一個等比數列。若是我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

20  21   22  ... 2k ... 2n = n
2的0次方

因此，咱們只要知道 x 值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。經過 2x=n 求解 x 這個問題咱們想高中應該就學過了，我就很少說了。x=log2n，因此，這段代碼的時間複雜度就是 O(log2n)

若是換成i= i * 3 就是O(log3n)

實際上，無論是以 2 爲底、以 3 爲底，仍是以 10 爲底，咱們能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲 O(logn)。爲何呢？

咱們知道，對數之間是能夠互相轉換的，log3n 就等於 log32 * log2n，因此 O(log3n) = O(C * log2n)，其中 C=log32 是一個常量。基於咱們前面的一個理論：在採用大 O 標記複雜度的時候，能夠忽略係數，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，O(log2n) 就等於 O(log3n)。所以，在對數階時間複雜度的表示方法裏，咱們忽略對數的「底」，統一表示爲 O(logn)。

若是你理解了我前面講的 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。還記得咱們剛講的乘法法則嗎？若是一段代碼的時間複雜度是 O(logn)，咱們循環執行 n 遍，時間複雜度就是 O(nlogn) 了。並且，O(nlogn) 也是一種很是常見的算法時間複雜度。好比，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是 O(nlogn)。

O(m+n) 、O(m*n)

咱們再來說一種跟前面都不同的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！

function cal(m, n) {
  var sum_1 = 0;
  var i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }
  var sum_2 = 0;
  var j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }
  return sum_1 + sum_2;
}

從代碼中能夠看出，m 和 n 是表示兩個數據規模。咱們沒法事先評估 m 和 n 誰的量級大，因此咱們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。因此，上面代碼的時間複雜度就是 O(m+n)。

針對這種狀況，原來的加法法則就不正確了，咱們須要將加法規則改成：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。可是乘法法則繼續有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

數據結構操做的複雜性

數據結構 鏈接 查找 插入 刪除
數組 1 n n n
棧 n n 1 1
隊列 n n 1 1
鏈表 n n 1 1
哈希表 - n n n
二分查找樹 n n n n
B樹 log(n) log(n) log(n) log(n)
紅黑樹 log(n) log(n) log(n) log(n)
AVL樹 log(n) log(n) log(n) log(n)

image

數組排序算法的複雜性

名稱 最優 平均 最壞 內存 穩定
冒泡排序 n n^2 n^2 1 Yes
插入排序 n n^2 n^2 1 Yes
選擇排序 n^2 n^2 n^2 1 No
堆排序 n log(n) n log(n) n log(n) 1 No
歸併排序 n log(n) n log(n) n log(n) n Yes
快速排序 n log(n) n log(n) n^2 log(n) No
希爾排序 n log(n) 取決於差距序列 n (log(n))^2 1 No

image

空間複雜度分析

大 O 表示法和時間複雜度分析，理解了前面講的內容，空間複雜度分析方法學起來就很是簡單了。

前面我講過，時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增加關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。

我仍是拿具體的例子來給你說明。

（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。

我仍是拿具體的例子來給你說明。（這段代碼有點「傻」，通常沒人會這麼寫，我這麼寫只是爲了方便給你解釋。）

1function print(n) {
2  var i = 0;
3  var a = [];
4  for (i; i <n; ++i) {
5    a[i] = i * i;
6  }
7  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
8    console.log(a[i])
9  }

跟時間複雜度分析同樣，咱們能夠看到，第 2 行代碼中，咱們申請了一個空間存儲變量 i，可是它是常量階的，跟數據規模 n 沒有關係，因此咱們能夠忽略。第 3 行申請了一個大小爲 n 的 int 類型數組，除此以外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，因此整段代碼的空間複雜度就是 O(n)。

咱們常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。並且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單不少。因此，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。

最好最壞狀況時間複雜度

先看例子：

// n 表示數組 array 的長度
// indexOf
funcrion find(array, n, x) {
  var i = 0;
  var pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

你應該能夠看出來，這段代碼要實現的功能是，在一個無序的數組（array）中，查找變量 x 出現的位置。若是沒有找到，就返回 -1。按照上節課講的分析方法，這段代碼的複雜度是 O(n)，其中，n 表明數組的長度。

咱們在數組中查找一個數據，並不須要每次都把整個數組都遍歷一遍，由於有可能中途找到就能夠提早結束循環了。可是，這段代碼寫得不夠高效。咱們能夠這樣優化一下這段查找代碼。

// n 表示數組 array 的長度
function find(array, n, x) {
  var i = 0;
  var pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

這個時候，問題就來了。咱們優化完以後，這段代碼的時間複雜度仍是 O(n) 嗎？很顯然，我們上一節講的分析方法，解決不了這個問題。

由於，要查找的變量 x 可能出如今數組的任意位置。若是數組中第一個元素正好是要查找的變量 x，那就不須要繼續遍歷剩下的 n-1 個數據了，那時間複雜度就是 O(1)。但若是數組中不存在變量 x，那咱們就須要把整個數組都遍歷一遍，時間複雜度就成了 O(n)。因此，不一樣的狀況下，這段代碼的時間複雜度是不同的。

爲了表示代碼在不一樣狀況下的不一樣時間複雜度，咱們須要引入三個概念：最好狀況時間複雜度、最壞狀況時間複雜度和平均狀況時間複雜度。

顧名思義，最好狀況時間複雜度就是，在最理想的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。就像咱們剛剛講到的，在最理想的狀況下，要查找的變量 x 正好是數組的第一個元素，這個時候對應的時間複雜度就是最好狀況時間複雜度。

同理，最壞狀況時間複雜度就是，在最糟糕的狀況下，執行這段代碼的時間複雜度。就像剛舉的那個例子，若是數組中沒有要查找的變量 x，咱們須要把整個數組都遍歷一遍才行，因此這種最糟糕狀況下對應的時間複雜度就是最壞狀況時間複雜度。

平均狀況時間複雜度

咱們都知道，最好狀況時間複雜度和最壞狀況時間複雜度對應的都是極端狀況下的代碼複雜度，發生的機率其實並不大。爲了更好地表示平均狀況下的時間複雜度，須要進入一個新的概念：平均狀況時間複雜度，後面簡稱平均時間複雜度。

分析上面的例子平均複雜度怎麼計算，在n+1中狀況：在數組中0~0-1位置中和不在數組中

把每一種狀況累加起來，而後在除以n+1,就能夠獲得須要遍歷元素個數的平均值：

image

咱們知道，時間複雜度的大 O 標記法中，能夠省略掉係數、低階、常量，因此，我們把剛剛這個公式簡化以後，獲得的平均時間複雜度就是 O(n)。

這個結論雖然是正確的，可是計算過程稍微有點兒問題。到底是什麼問題呢？咱們剛講的這 n+1 種狀況，出現的機率並非同樣的。我帶你具體分析一下。（這裏要稍微用到一點兒機率論的知識，不過很是簡單，你不用擔憂。）

咱們知道，要查找的變量 x，要麼在數組裏，要麼就不在數組裏。這兩種狀況對應的機率統計起來很麻煩，爲了方便你理解，咱們假設在數組中與不在數組中的機率都爲 1/2。另外，要查找的數據出如今 0～n-1 這 n 個位置的機率也是同樣的，爲 1/n。因此，根據機率乘法法則，要查找的數據出如今 0～n-1 中任意位置的機率就是 1/(2n)。

所以，前面的推導過程當中存在的最大問題就是，沒有將各類狀況發生的機率考慮進去。若是咱們把每種狀況發生的機率也考慮進去，那平均時間複雜度的計算過程就變成了這樣：
image

這個值就是機率論中的加權平均值，也叫做指望值，因此平均時間複雜度的全稱應該叫加權平均時間複雜度或者指望時間複雜度。

引入機率以後，前面那段代碼的加權平均值爲 (3n+1)/4。用大 O 表示法來表示，去掉係數和常量，這段代碼的加權平均時間複雜度仍然是 O(n)。

你可能會說，平均時間複雜度分析好複雜啊，還要涉及機率論的知識。實際上，在大多數狀況下，咱們並不須要區分最好、最壞、平均狀況時間複雜度三種狀況。像咱們上一節課舉的那些例子那樣，不少時候，咱們使用一個複雜度就能夠知足需求了。只有同一塊代碼在不一樣的狀況下，時間複雜度有量級的差距，咱們纔會使用這三種複雜度表示法來區分。

均攤時間複雜度

到此爲止，你應該已經掌握了算法複雜度分析的大部份內容了。下面我要給你講一個更加高級的概念，均攤時間複雜度，以及它對應的分析方法，攤還分析（或者叫平攤分析）。

均攤時間複雜度，聽起來跟平均時間複雜度有點兒像。對於初學者來講，這兩個概念確實很是容易弄混。我前面說了，大部分狀況下，咱們並不須要區分最好、最壞、平均三種複雜度。平均複雜度只在某些特殊狀況下才會用到，而均攤時間複雜度應用的場景比它更加特殊、更加有限。

老規矩，我仍是藉助一個具體的例子來幫助你理解。（固然，這個例子只是我爲了方便講解想出來的，實際上沒人會這麼寫。）

// array 表示一個長度爲 n 的數組
 // 代碼中的 array.length 就等於 n
 int[] array = new int[n];
 int count = 0;
 void insert(int val) {
    if (count == array.length) {
       int sum = 0;
       for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
          sum = sum + array[i];
       }
       array[0] = sum;
       count = 1;
    }
    array[count] = val;
    ++count;
 }

我先來解釋一下這段代碼。這段代碼實現了一個往數組中插入數據的功能。當數組滿了以後，也就是代碼中的 count == array.length 時，咱們用 for 循環遍歷數組求和，並清空數組，將求和以後的 sum 值放到數組的第一個位置，而後再將新的數據插入。但若是數組一開始就有空閒空間，則直接將數據插入數組。

那這段代碼的時間複雜度是多少呢？你能夠先用咱們剛講到的三種時間複雜度的分析方法來分析一下。

最理想的狀況下，數組中有空閒空間，咱們只須要將數據插入到數組下標爲 count 的位置就能夠了，因此最好狀況時間複雜度爲 O(1)。最壞的狀況下，數組中沒有空閒空間了，咱們須要先作一次數組的遍歷求和，而後再將數據插入，因此最壞狀況時間複雜度爲 O(n)。

那平均時間複雜度是多少呢？答案是 O(1)。咱們仍是能夠經過前面講的機率論的方法來分析。

假設數組的長度是 n，根據數據插入的位置的不一樣，咱們能夠分爲 n 種狀況，每種狀況的時間複雜度是 O(1)。除此以外，還有一種「額外」的狀況，就是在數組沒有空閒空間時插入一個數據，這個時候的時間複雜度是 O(n)。並且，這 n+1 種狀況發生的機率同樣，都是 1/(n+1)。因此，根據加權平均的計算方法，咱們求得的平均時間複雜度就是：

image

至此爲止，前面的最好、最壞、平均時間複雜度的計算，理解起來應該都沒有問題。可是這個例子裏的平均複雜度分析其實並不須要這麼複雜，不須要引入機率論的知識。這是爲何呢？咱們先來對比一下這個 insert() 的例子和前面那個 find() 的例子，你就會發現這二者有很大差異。

首先，find() 函數在極端狀況下，複雜度才爲 O(1)。但 insert() 在大部分狀況下，時間複雜度都爲 O(1)。只有個別狀況下，複雜度才比較高，爲 O(n)。這是 insert()第一個區別於 find() 的地方。

咱們再來看第二個不一樣的地方。對於 insert() 函數來講，O(1) 時間複雜度的插入和 O(n) 時間複雜度的插入，出現的頻率是很是有規律的，並且有必定的先後時序關係，通常都是一個 O(n) 插入以後，緊跟着 n-1 個 O(1) 的插入操做，循環往復。

因此，針對這樣一種特殊場景的複雜度分析，咱們並不須要像以前講平均複雜度分析方法那樣，找出全部的輸入狀況及相應的發生機率，而後再計算加權平均值。

針對這種特殊的場景，咱們引入了一種更加簡單的分析方法：攤還分析法，經過攤還分析獲得的時間複雜度咱們起了一個名字，叫均攤時間複雜度。

那究竟如何使用攤還分析法來分析算法的均攤時間複雜度呢？

咱們仍是繼續看在數組中插入數據的這個例子。每一次 O(n) 的插入操做，都會跟着 n-1 次 O(1) 的插入操做，因此把耗時多的那次操做均攤到接下來的 n-1 次耗時少的操做上，均攤下來，這一組連續的操做的均攤時間複雜度就是 O(1)。這就是均攤分析的大體思路。你都理解了嗎？

均攤時間複雜度和攤還分析應用場景比較特殊，因此咱們並不會常常用到。爲了方便你理解、記憶，我這裏簡單總結一下它們的應用場景。若是你遇到了，知道是怎麼回事兒就好了。

對一個數據結構進行一組連續操做中，大部分狀況下時間複雜度都很低，只有個別狀況下時間複雜度比較高，並且這些操做之間存在先後連貫的時序關係，這個時候，咱們就能夠將這一組操做放在一起分析，看是否能將較高時間複雜度那次操做的耗時，平攤到其餘那些時間複雜度比較低的操做上。並且，在可以應用均攤時間複雜度分析的場合，通常均攤時間複雜度就等於最好狀況時間複雜度。

對數據規模有一個概念和分析

若是要想在1s以內解決問題：

  • O(n^2)的算法能夠處理大約10^4級別的數據
  • O(n)的算法能夠處理大約10^8級別的數據
  • O(nlogn)的算法能夠處理大約10^級別的數據

遞歸算法的複雜度分析

只進行一次的遞歸,遞歸深度logn 時間複雜度O(logn)

function binarySearch(arr, l, r, target) {
    if (l < r){
        return -1;
    }
    let mid = l + (r-l)/2;
    if(arr[mid] == target) {
        return mid;
    } else if (arr[mid] > target) {
      return binarySearch(arr, l , mid-1, target);  
    } else {
      return binarySearch(arr, mid+1, r, target;
    }
    
}

若是遞歸函數中，只進行一次遞歸調用，遞歸深度爲depth；
在每一個遞歸函數中，時間複雜度爲T;
則整體的時間複雜度爲O(T*depth)

屢次遞歸調用

function f(n) {
    if (n==0) {
        return 1;
    }
    return f(n-1) + f(n-1)
}

n層
image
logn層，分治算法
image

避免複雜度的震盪

java數組動態擴容

假設咱們如今有一個數組，這個數組的容量爲n，而且如今也裝滿了元素，那麼如今咱們再調用一下addLast操做，顯然在添加一個新的元素的時候會須要擴容（擴容會耗費O(N)的時間），以後咱們立刻進行removeLast操做（根據咱們以前的邏輯，在上一個操做裏經過擴容，容量變爲了2n，在咱們刪除1個元素以後，元素又變爲了n = 2n/2，根據咱們代碼中的邏輯，會觸發縮容的操做，一樣耗費了O(n)的時間）；那麼咱們若是再addLast、removeLast…等相繼依次操做。

對於addLast和removeLast來講，都是每隔n次操做都會觸發resize，而不會每次都觸發
可是如今咱們製造了一種情景：同時看addLast和removeLast的時候，每一次都會耗費O(n)的複雜度，那麼這就是複雜度的震盪

resize的複雜度分析——出現複雜度震盪的緣由及解決方案

removeLast時resize過於着急（採用了Eager的策略: 一旦咱們的元素變爲當前容積的1/2的時候，咱們立刻就把當前的容積也縮容爲1/2）
解決方案: Lazy （在線段樹中，也會用到相似的思路）
當元素變爲當前容積的1/2時，不着急把當前容積縮容，而是等等；若是後面一直有刪除操做的話，當刪除元素到整個數組容積的1/4時，那麼這樣看來咱們的數組確實用不了這麼大的容積，此時咱們再來進行縮容，縮容整個數組的1/2（這樣，即使咱們要添加元素，也不須要立刻觸發擴容操做）

當 size == capacity / 4時，纔將capacity減半！

複雜度分析的4個概念

1、複雜度分析的4個概念

  • 1.最壞狀況時間複雜度：代碼在最理想狀況下執行的時間複雜度。
  • 2.最好狀況時間複雜度：代碼在最壞狀況下執行的時間複雜度。
  • 3.平均時間複雜度：用代碼在全部狀況下執行的次數的加權平均值表示。
  • 4.均攤時間複雜度：在代碼執行的全部複雜度狀況中絕大部分是低級別的複雜度，個別狀況是高級別複雜度且發生具備時序關係時，能夠將個別高級別複雜度均攤到低級別複雜度上。基本上均攤結果就等於低級別複雜度。

2、爲何要引入這4個概念？

1.同一段代碼在不一樣狀況下時間複雜度會出現量級差別，爲了更全面，更準確的描述代碼的時間複雜度，因此引入這4個概念。

2.代碼複雜度在不一樣狀況下出現量級差異時才須要區別這四種複雜度。大多數狀況下，是不須要區別分析它們的。

3、如何分析平均、均攤時間複雜度？

1.平均時間複雜度

代碼在不一樣狀況下複雜度出現量級差異，則用代碼全部可能狀況下執行次數的加權平均值表示。

2.均攤時間複雜度

兩個條件知足時使用：1）代碼在絕大多數狀況下是低級別複雜度，只有極少數狀況是高級別複雜度；2）低級別和高級別複雜度出現具備時序規律。均攤結果通常都等於低級別複雜度。

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