李超樹學習筆記

先說一些題外話

其實很早就有這些這個的慾望了。。。

可是因爲種種緣由（包括班主任），一直咕到如今。。。

咕咕咕。。。

不能再咕下去了！

因而熬夜來寫這個。

步入正題

先看一個例題：BZOJ1568: [JSOI2008]Blue Mary開公司

其實這個算是裸題了。。。

固然我作的第一道李超樹的題不是這個。。。

題目要求區間內的全部直線的最高點的最大值。

而且帶插入。

裸的暴力$O(nm)$對吧。

而後呢？

第一想法是——分治！

將一個區間$[l,r]$分紅$[l,mid],[mid+1,r]$兩個區間，遞歸求解。

合併答案就取最大值就好。

這樣，咱們便得出來一個$O(mn\log_2n)$的算法。。。

你會說：「這個算法複雜度還沒暴力跑得快，我要他幹嗎？？？」

誠然，暴力跑得比它快得多。。。

可是你以爲這個算法若是沒有用的話，我會講它嗎？

咱們回頭看咱們分治的過程：將區間一分爲二，且區間大小相等。

若是你有 像我同樣的超高的$DS$水平，你就會發現這個過程和某個數據結構的過程好像啊！

沒錯！這個數據結構就是—— 線段樹！

是否是很厲害！

爲何？由於咱們找到了一種數據結構來維護這玩意了！

因此線段樹每一個點存區間最大值就好。

$BUT$！這麼作還有一個問題：插入線段怎麼辦？

你會想：用最大值覆蓋不就行了？

那麼問題又來了：線段是有斜率的。

也就是說，在不一樣的點，線段的函數值是不一樣的。

你怎麼知道當前的點的函數值是多少呢？

可能你又會想：那我就暴力帶值進線段，把函數值算出來不就行了？

那麼恭喜，你離深淵愈來愈近了。

你會發現你的每一次維護都會涉及到最多$4n$個節點。

那和暴力有什麼區別？？？

因此這個方案被咱們捨棄了。

那怎麼辦呢？

對於這個問題， 國家隊隊爺李超提出一種解決辦法：

咱們把線段樹中存的值從區間最大值改成 區間中值最大的直線。

每一個節點至少會存一條直線。

可是多條直線呢？

咱們能夠打一個標記，說明再這個區間內至少有一個兩條直線的轉折點。

而後遞歸插入直線。

具體作法是這樣的：

假設原來在$[l,r]$這個區間內只有一條直線$f_1(x)=k_1x+b_1$。

如今要在區間內插入一條新直線$f_2(x)=k_2x+b_2$。

而後即是分類討論：

1. 若是$f_1(l)\geq f_2(l),f_1(r)\geq f_2(r)$：

說明$f_2(x)$在這個區間內被$f_1(x)$吊打，那麼不作任何操做；

2. 若是$f_1(l)\leq f_2(l),f_1(r)\leq f_2(r)$：

說明$f_1(x)$在這個區間內被$f_2(x)$吊打，那麼直接替換便可；

3. 若是$f_1(l)\geq f_2(l),f_1(r)\leq f_2(r)\text{或者}f_1(l)\leq f_2(l),f_1(r)\geq f_2(r)$：

說明兩直線在這個區間內有交點。

這時，咱們取區間中點$mid$，判斷兩直線在$[l,mid]$之間是否相交：

如果，則右區間$[mid+1,r]$賦爲在上方的曲線，左區間遞歸求解；

不然，左區間$[l,mid]$賦爲在上方的曲線，右區間遞歸求解。

這樣，咱們的一次插入直線操做完成。

而遞歸修改最多會涉及到$\log_2n$個節點。

因此一次修改的複雜度上限爲$O(\log_2^2n)$。

而後，這題還須要用到標記永久化。

即咱們不下傳標記，在求區間最大值的時候，每次訪問到一個被詢問區間包含的區間，把答案和這個區間所維護的線段的最大值取$max$。

而後這個題就作完了。

不得不說很是的機智啊！

因此這種線段樹被稱爲—— 李超樹。

複雜度$O(m\log_2^2n)$。

瘋狂維護半平面交。。。

代碼的話。。。能夠去題解裏找：

BZOJ1568: [JSOI2008]Blue Mary開公司

再推薦兩道練手題：

相似的板子題：

BZOJ3165: [Heoi2013]Segment

我作的第一道李超樹題：（萬事開頭難。。。）

BZOJ4515: [Sdoi2016]遊戲

後記

其實李超樹不建議在考場上寫。

由於這玩意的修改很容易寫炸。。。

而且查錯及其噁心。。。

對於大多數$DS$能力不是極其強悍的$OIer$來講，性價比並非很高。

由於通常這種題的部分分都比正解的性價比高。。。

因此不是隊爺不寫正解。。。

而對於我這個菜雞$AFO$選手來講，能夠浪一浪。。。

出題人，我勸你善良。。。