線段樹學習筆記

時間 2019-12-08

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什麼是線段樹

線段樹是一種二叉搜索樹，與區間樹類似，它將一個區間劃分紅一些單元區間，每一個單元區間對應線段樹中的一個葉結點。使用線段樹能夠快速的查找某一個節點在若干條線段中出現的次數，時間複雜度爲 $O(\log N)$ 。而未優化的空間複雜度爲 $2N$ ，所以有時須要離散化讓空間壓縮。——by 百度數組

怎麼構造線段樹

首先明確一件事，根（$root$）的左孩子是$root \cdot 2 $或$root << 1$,右孩子是$root \cdot 2+1$或$root<< 1 | 1$函數

咱們有個大小爲 $5$ 的數組 $a={10,11,12,13,14}$ 要進行區間求和操做，如今咱們要怎麼把這個數組存到線段樹中（也能夠說是轉化成線段樹）呢？咱們這樣子作：設線段樹的根節點編號爲 $1$ ，用數組 $d$ 來保存咱們的線段樹， $d[i]$ 用來保存編號爲 $i$ 的節點的值（這裏節點的值就是這個節點所表示的區間總和），如圖所示：

上圖來自$oi-wiki$優化

void build(int root,int l,int r) {
    if(l==r) {//若是到了葉子節點就直接賦值
        tree[root]=a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    build(root*2,l,mid);//遞歸左子樹
    build(root*2+1,mid+1,r);//遞歸右子樹
    tree[root]=tree[root*2]+tree[root*2+1];//注意須要更新根節點
}

咱們來看一下$build$函數的運行過程,當從$root$開始遞歸時遞歸了左子樹，左子樹又遞歸左子樹，一直到葉節點返回了左葉節點的值，而後和上面的同樣去遞歸右子樹，一直到葉而後返回了右葉節點的值（上面描述的可能不是太清楚，能夠本身結合一下上圖圖）,而後一層一層的返回就能夠了ui

線段樹的區間查詢

區間查詢，好比求區間 $[l,r]$ 的總和（即 $a[l]+a[l+1]+ \cdots +a[r]$ ）、求區間最大值/最小值……還有不少不少……怎麼作呢？
3d

如上圖舉例
若是要查詢區間 $[1,5]$ 的和，那直接獲取 $d[1]$ 的值（ $60$ ）便可。那若是我就不查詢區間 $[1,5]$ ，我就查區間 $[3,5]$ 呢？code

傻了吧。但其實呢咱們確定仍是有辦法的！htm

你要查的不是 $[3,5]$ 嗎？我把 $[3,5]$ 拆成 $[3,3]$ 和 $[4,5]$ 不就好了嗎？blog

int query(int root,int l,int r,int x,int y) {
    if(x<=l && r<=y) return tree[root];
    int mid=(l+r)/2;
    int ans=0;
    pushdown(root,l,r,mid);
    if(x<=mid)  ans+=query(root*2,l,mid,x,y);
    if(mid<y)   ans+=query(root*2+1,mid+1,r,x,y);
    return ans;
}

線段樹的區間修改與懶惰標記

這裏就是線段樹的精髓了，請仔細理解遞歸

區間修改是個頗有趣的東西……你想啊，若是你要修改區間 $[l,r]$ ，難道把全部包含在區間[l,r]中的節點都遍歷一次、修改一次？那估計這時間複雜度估計會上天。這怎麼辦呢？咱們這裏要引用一個叫作 「懶惰標記」 的東西。

咱們設一個數組 $b$ ， $b[i]$ 表示編號爲 $i$ 的節點的懶惰標記值。啥是懶惰標記、懶惰標記值呢？這裏我再舉個例子：

A 有兩個兒子，一個是 B，一個是 C。

有一天 A 要建一個新房子，沒錢。恰好過年嘛，有人要給 B 和 C 紅包，兩個紅包的錢數相同都是 $(1000000000000001\bmod 2)$ 圓（好多啊！……不就是 $1$ 元嗎……），然而由於 A 是父親因此紅包確定是先塞給 A 咯~

理論上來說 A 應該把兩個紅包分別給 B 和 C，可是……缺錢嘛，A 就把紅包偷偷收到本身口袋裏了。

A 高興地說：「我如今有 $2$ 份紅包了！我又多了 $2\times (1000000000000001\bmod 2)=2$ 元了！哈哈哈~」

可是 A 知道，若是他不把紅包給 B 和 C，那 B 和 C 確定會不爽而後致使家庭矛盾最後崩潰，因此 A 對兒子 B 和 C 說：「我欠大家每人 $1$ 份 $(1000000000000001\bmod 2)$ 圓的紅包，下次有新紅包給過來的時候再給大家！這裏我先作下記錄……嗯……我錢大家各 $(1000000000000001\bmod 2)$ 圓……」

兒子 B、C 有點惱怒：「但是若是有同窗問起咱們咱們收到了多少紅包咋辦？你把咱們的紅包都收了，咱們還怎麼裝X？」

父親 A 趕緊說：「有同窗問起來我就會給大家的！我欠條都寫好了不會不算話的！」

這樣 B、C 才放了心。

在這個故事中咱們不難看出，A 就是父親節點，B 和 C 是 A 的兒子節點，並且 B 和 C 是葉子節點，分別對應一個數組中的值（就是以前講的數組 $a$ ），咱們假設節點 A 表示區間 $[1,2]$ （即 $a[1]+a[2]$ ），節點 B 表示區間 $[1,1]$ （即 $a[1]$ ），節點 C 表示區間 $[2,2]$ （即 $a[2]$ ），它們的初始值都爲 $0$ （如今纔剛開始呢，還沒拿到紅包，因此都沒錢~）。

如圖：

注：這裏 D 表示當前節點的值（即所表示區間的區間和）。
爲何節點 A 的 D 是 $2\times (1000000000000001\bmod 2)$ 呢？緣由很簡單：節點 A 表示的區間是 $[1,2]$ ，一共包含 $2$ 個元素。咱們是讓 $[1,2]$ 這個區間的每一個元素都加上 $1000000000000001\bmod 2$ ，因此節點 A 的值就加上了 $2\times (1000000000000001\bmod 2)$ 咯。

若是這時候咱們要查詢區間 $[1,1]$ （即節點 B 的值）怎麼辦呢？不是說了嗎？若是 B 要用到的時候，A 就把它欠的還給 B！

具體是這樣操做（如圖）：

注：爲何是加上 $1\times (1000000000000001\bmod 2)$ 呢？

緣由和上面同樣——B 和 C 表示的區間中只有 $1$ 個元素啊！

由此咱們能夠獲得，區間 $[1,1]$ 的區間和就是 $1$ 啦！O(∩_∩)O 哈哈~！

PS:上述解釋來自$Oi-wiki$，我以爲解釋的很好能夠看看，附上上面解釋的原版代碼

void update(int l, int r, int c, int s, int t,int p){
  // [l,r] 爲修改區間,c 爲被修改的元素的變化量,[s,t] 爲當前節點包含的區間,p 爲當前節點的編號
  if (l <= s && t <= r) {
    d[p] += (t - s + 1) * c, b[p] += c;
    return;
  }// 當前區間爲修改區間的子集時直接修改當前節點的值,而後打標記,結束脩改
  int m = (s + t) / 2; 
  if (b[p] && s!=t){
    // 若是當前節點的懶標記非空,則更新當前節點兩個子節點的值和懶標記值
    d[p * 2] += b[p] * (m - s + 1), d[p * 2 + 1] += b[p] * (t - m);
    b[p * 2] += b[p], b[p * 2 + 1] += b[p]; // 將標記下傳給子節點
    b[p] = 0; // 清空當前節點的標記
  }
  if (l <= m) update(l, r, c, s, m, p * 2);
  if (r > m) update(l, r, c, m + 1, t, p * 2 + 1);
  d[p] = d[p * 2] + d[p * 2 + 1];
}

下面是個人代碼：

區間修改

void update(int root,int l,int r,int x,int y,int v) {
    if(x<=l && r<=y) return add(root,l,r,v);
    int mid=(l+r)/2;
    pushdown(root,l,r,mid);
    if(x<=mid)  update(root*2,l,mid,x,y,v);
    if(y>mid)   update(root*2+1,mid+1,r,x,y,v);
    tree[root]=tree[root*2]+tree[root*2+1];
}

$add$函數

void add(int root,int l,int r,int v) {
    tree[root]+=v*(r-l+1);
    lazy[root]+=v;
}

下放懶標記

void pushdown(int root,int l,int r,int mid) {
    if(lazy[root]==0) return ;
    add(root*2,l,mid,lazy[root]);
    add(root*2+1,mid+1,r,lazy[root]);
    lazy[root]=0;
}

單點修改

單節點更新是指只更新線段樹的某個葉子節點的值，可是更新葉子節點會對其父節點的值產生影響，所以更新子節點後，要回溯更新其父節點的值。

/*
功能：更新線段樹中某個葉子節點的值
root：當前線段樹的根節點下標
[nstart, nend]: 當前節點所表示的區間
index: 待更新節點在原始數組arr中的下標
addVal: 更新的值（原來的值加上addVal）
*/
void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal)
{
    if(nstart == nend)
    {
        if(index == nstart)//找到了相應的節點，更新之
            segTree[root].val += addVal;
        return;
    }
    int mid = (nstart + nend) / 2;
    if(index <= mid)//在左子樹中更新
        updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal);
    else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子樹中更新
    //根據左右子樹的值回溯更新當前節點的值
    segTree[root].val = segTree[root*2+1].val+segTree[root*2+2].val;
}