數學物理中的常見誤區

• 多元函數求偏導數時注意區分那些是自變量，那些是函數，以及函數的自變量是什麼。自變量之間的偏導都是零，而針對函數的偏導則不必定是零。
  例：在計算阿爾芬波色散關係的時候有這樣的式子：
  \[\frac{d}{dx}[(\omega^2-\omega_A^2(x))\frac{dU(x)}{dx}]\]
  上式中\(\frac{d}{dx}\)做用到\(\omega^2\)上就是0，可是做用到\(\omega_A^2(x)\)則非零，由於\(x,\omega\)都是自變量，而\(\omega_A^2\)則是函數。
• 多元傅立葉變換中的等價性：
  對於\(U(\vec{r},t)\to U(x)e^{i(k_y y+k_z z-\omega t)}\)，這時若是有梯度算符\(\nabla\)做用到U上，則梯度算符\(\nabla\)與波數\(\vec{k}=k_y\vec{e_y}+k_z\vec{e_z}\)並不等價。而是有等價關係：
  \[\nabla\Leftrightarrow (\vec{e_x}\frac{d}{dx}+i\vec{k})\]
• 平衡量的微分
  物理中的平衡量通常而言都是針對時間的平衡量\(A_0=A_0(\vec{r})\)，因此對空間變量的微分未必是零。
  \(\frac{\partial A}{\partial t}=0,\ \frac{\partial A}{\partial x}\neq 0\)
• 微分算符的可交換性
  在物理問題中經常出現連續做用的微分算符，有些微分算符仍是一些比較複雜的運算。通常而言，只要是相互獨立的微分算符都是能夠交換順序的。由於實際物理問題中的多元函數通常都是可微的，並無數學中要求的那麼嚴格。
  例如：\(\textit{D}=(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{1}{\rho_0\mu_0}(\vec{B_0}\cdot\nabla)^2)\)，這個算符同時也是x的函數而與y,z無關。因此\(\textit{D}\)不能夠與\(\frac{\partial}{\partial x}\)交換順序，可是能夠與\(\frac{\partial}{\partial y}\)或\(\frac{\partial}{\partial z}\)交換順序。即：\(\frac{\partial}{\partial x}(\textit{D}f) \neq \textit{D}\frac{\partial f}{\partial x}\)，可是能夠有\(\frac{\partial}{\partial y}(\textit{D}f)=\textit{D}\frac{\partial f}{\partial y}\).
• 極限運算與微積分運算的可交換性
  極限運算和微分運算，極限運算和積分運算都是能夠交換前後順序的，由於不管積分運算或者是微分運算，都是利用極限運算來定義的。
• 對時間的全導數和偏導數是不等價的
  假設有一個時變的標量場\(Q=Q(\vec{r},t)\)則有以下關係：
  \(\frac{dQ}{dt}=\frac{\partial Q}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla Q\neq \frac{\partial Q}{\partial t}\)
• 物理規律的適用條件
  從哲學的角度來說，人類目前領悟的物理定律都源於對天然現象的總結概括，都還只是對宇宙中絕對真理(天然規律)的近似，因此和真正的天然現象還會存在必定的偏差。就連咱們已經掌握的物理定律在不一樣條件下都有不一樣的近似。
  例：牛頓第二定律，
  \[ \begin{equation} \vec{F}=\frac{d}{dt}(m\vec{v})= \left\{ \begin{array}{l} m\frac{d\vec{v}}{dt} & (low\ speed)\\ \frac{dm}{dt}\vec{v}+m\frac{d\vec{v}}{dt} & (high\ speed\ v \approx c) \end{array} \right. \end{equation} \]
  例：流體連續方程，
  \[ \begin{equation} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho \vec{v})=0\Leftrightarrow \begin{array}{l} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\rho \nabla\cdot\vec{v}=0 & (non-compressible\ fluid)\\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\rho\cdot\vec{v}+\rho \nabla\cdot\vec{v}=0 & (compressible\ fluid) \end{array} \end{equation} \]