山東理工大學網絡擂臺賽——G.蒟蒻們最後的掙扎（前綴和+異或思想）

山東理工大學網絡擂臺賽——G.蒟蒻們最後的掙扎（前綴和+異或思想）

題目描述

Description
在 LJJ 的「壓迫」下，每一個蒟蒻要出三道題，正所謂哪裏有剝削哪裏就有反抗，蒟蒻們給強大的 LJJ 出了一道題，若是 LJJ 解出了題，蒟蒻們才心甘情願給 LJJ 當苦力。問題其實很簡單：給你一個區間 L 到 R，要求你求出從 L 異或到 R 的值。可是LJJ還（不）有（屑）很（作）多（這）事（種）要（水）忙（題），因而他找到了你但願你能寫個程序幫他解決這道題。

Input
第一行一個T（1 ≤ L ≤ T ≤ 1e5），表示有 T 組輸入。

如下 T 行，每行包含兩個整數 L 和 R（1 ≤ L ≤ R ≤ 1e5）用空格分開，表示要求異或和的區間。

Output
對於每組輸入，輸出一個整數表示 L 到 R 全部數字的異或和

Sample Input
2
1 2
3 6
Sample Output
3
4
Hint
異或（xor）是一個數學運算符。它應用於邏輯運算。異或的數學符號爲「⊕」，計算機符號爲「xor」。

0 ⊕ 0 = 0，1 ⊕ 0 = 1， 0 ⊕ 1 = 1， 1 ⊕ 1 = 0。

性質：a ⊕ a = 0， a ⊕ 0 = a

C語言中能夠用「^」進行異或運算。

樣例1: 1 ⊕ 2 = 3,樣例 2：3 ⊕ 4 ⊕ 5 ⊕ 6 = 4

個人AC程序

#include <cstdio>

const int maxn = 1e5 + 10;
int xorSum[maxn], t, l, r;

int main()
{
    xorSum[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;++i)
    {
        xorSum[i] = i ^ xorSum[i - 1];
    }
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d %d", &l, &r);
        printf("%d\n", xorSum[r] ^ xorSum[l - 1]);
    }
    return 0;
}

算法分析與設計

這題暴力算法確定是$O(nt)$，確定是沒法經過的！

這種區間和查詢的問題，最簡單的思路就是前綴和、差分，其次就是線段樹之類的。先看看前綴和，這裏的前綴和顯然和通常的前綴和不同，普通的前綴和是設定數組$Sum[i]=a[i]+Sum[i-1]$，用加法來描述一種「和」，而這裏不是求和，而是求區間的異或。那麼異或和求和有什麼共同點呢？

求和是前綴的累積再加上當前值，而異或也是前綴的異或累計再異或當前值，這本質上是同樣的！

那麼有什麼區別呢？

在對前綴和進行差分的時候，是直接相減，那是由於：
$$Sum(l,r)=a[l]+\dots +a[r]=Sum[r]-Sum[l-1]$$

而對前綴異或進行差分的時候，是怎樣的呢？先推導一下：
$$xorSum(l,r)=(a[1]\oplus \dots \oplus a[r])\oplus (a[1]\oplus \dots a[l-1])$$
這是由於：$(a\oplus b)\oplus b=a$，因此差分能夠歸結爲：
$$xorSum(l,r)=xorSum[r]\oplus xorSum[l-1]$$
綜上所述，程序就很好編寫了！

結束語

有想要探討、合做的小夥伴能夠關注我，有問題能夠發郵件給我，個人郵箱是：2329313458@qq.com