二叉樹及存儲結構

目錄

• 1、二叉樹的定義
• 2、特殊二叉樹
  • 2.1 斜二叉樹（Skewed Binary Tree）
  • 2.2 完美二叉樹（Perfect Binary Tree）
  • 2.3 徹底二叉樹（Complete Binary Tree）
• 3、二叉樹的幾個重要性質
• 4、二叉樹的抽象數據類型定義
  • 4.1 經常使用的遍歷方法
• 5、二叉樹的存儲結構
  • 5.1 順序存儲結構
  • 5.2 鏈表存儲

1、二叉樹的定義

二叉樹T：一個有窮的結點集合。

• 這個集合能夠爲空
• 若不爲空，則它是由根節點和稱爲其左子樹\(T_L\)和右子樹\(T_R\)的兩個不相交的二叉樹組成。

二叉樹具體五種基本形態

二叉樹的子樹有左右順序之分

2、特殊二叉樹

2.1 斜二叉樹（Skewed Binary Tree）

斜二叉樹以下圖所示：

2.2 完美二叉樹（Perfect Binary Tree）

完美二叉樹也稱做滿二叉樹（Full Binary Tree）

完美二叉樹以下圖所示：

2.3 徹底二叉樹（Complete Binary Tree）

有n個結點的二叉樹，對樹中結點按從上至下、從左到右順序進行編號，編號爲\(i(1\leq{i}\leq{n})\)結點與滿二叉樹中編號爲i結點在二叉樹位置相同。

徹底二叉樹以下圖所示：

以下圖所示的二叉樹即不爲徹底二叉樹：

3、二叉樹的幾個重要性質

• 一個二叉樹第i層的最大結點樹爲：\(2^{i-1}, \quad{i}\geq1\)

• 深度爲k的二叉樹有最大結點總數爲：\(2^k -1, \quad k\geq{1}\)

• 對任何非空二叉樹T，若\(n_0\)表示葉節點的個數、\(n_2\)是度爲2的非葉結點個數，那麼二者知足關係\(n_0=n_2+1\)

4、二叉樹的抽象數據類型定義

類型名稱：二叉樹

數據對象集：一個有窮的結點集合。若不爲空，則由根節點和其左、右二叉子樹組成。

操做集：\(BT\in{BinTree},\quad Item \in ElementType\)，其重要操做有：

1. BooleanIsEmpty(BinTree BT)：判斷BT是否爲空；
2. void Traversal(BinTree BT)：遍歷，按某順序訪問每一個結點；
3. BinTree CreateBinTree()：建立一個二叉樹。

4.1 經常使用的遍歷方法

接下來介紹幾個經常使用的遍歷方法，將來會詳細講解。

void PreOrderTraversal(BinTree BT)：先序 --》根、左子樹、右子樹；

void InOrderTraversal(BinTree BT)：中序 --》左子樹、根、右子樹；

void PostOrderTraversal(BinTree BT)：後序 --》左子樹、右子樹、根；

void LevelOrderTraversal(BinTree BT)：層次遍歷，從上到下、從左到右

5、二叉樹的存儲結構

5.1 順序存儲結構

徹底二叉樹：按從上至下、從左到右順序存儲，n個結點的徹底二叉樹的結點父子關係

• 非根節點（序號i>1）的父結點的序號是\([i/2]\)；
• 結點（序號爲i）的左孩子結點的序號是2i（若\(2i\leq{n}\)，不然沒有左孩子）；
• 結點（序號爲i）的右孩子結點的序號是2i+1（若\(2i+1\leq{n}\)，不然沒有右孩子）

通常二叉樹也能夠採用這種結構，但會形成空間浪費……

5.2 鏈表存儲

/* c語言實現 */

typedef struct TreeNode *BinTree;
typedef BinTree Position;
struct TreeNode{
  ElementType Data;
  BinTree Left;
  BinTree Right;
}

# python語言實現

class TreeNode:
     def __init__(self, x):
         self.val = x
         self.left = None
         self.right = None

單個子節點用下圖所示鏈表表示：

使用鏈表對整棵樹的表示以下：