數論函數相關

數論函數相關

前言 :

因爲本人腦子生鏽嚴重 , 因此整理了這個東西拯救一下本身的數學
然而問題在於下文的不少問題我都沒有徹底理解徹底沒有理解 , 因此出鍋機率極高99.99%
因此若是您在閱讀過程當中發現我出鍋了的話 , 請聯繫我修鍋
QQ: 2362687579 ,郵箱 : 2362687579@qq.com
驗證的話就寫"辣雞dntkm出來捱打"就行了quq

積性函數

若對於函數$f$在$gcd(a,b)=1$時，有$f(a*b)=f(a)*f(b)$，則稱$f$爲積性函數

特別的，若函數$f$不管$gcd(a,b)$，都有$f(a*b)=f(a)*f(b)\quad$則稱$f$爲徹底積性函數

*注：目前經常使用的數論函數多爲積性函數

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Dirichlet卷積

定義兩個數論函數的Dirichlet卷積爲： $$ (f * g)(n) = \sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d}) $$

知足：
 交換律： $(fg)=(gf)$
 結合律： $(fg)h=f(gh)$
 分配律： $(f+g)h=fh+g*h$

*注：兩個積性函數的Dirichlet卷積仍爲積性函數
大概把它當成長得比較奇怪的乘法就好

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常見數論函數（積性）

莫比烏斯函數 $\mu$

$$\mu(d) \quad = \quad \begin{cases} 1\quad\qquad(d=1) \ (-1)^{k}\quad(d=p_1p_2...p_k,\forall p_i \neq p_j) \ 0 \quad\qquad (otherwise) \end{cases}$$

莫比烏斯函數的性質

$$\sum_{d|n}\mu(d) \quad = \quad [n=1] \qquad \quad \begin{cases}1\quad(n=1) \0\quad(n\neq1)\end{cases} \ \quad \ 寫爲Dirichlet卷積形式爲：\muI=\epsilon\ \quad \ 即：(\muI)(n)= \sum_{d|n}\mu(d)*I(\frac{n}{d})\ = \sum_{d|n}\mu(d) = [n=1] = \epsilon(n) \ 證 : \sum_{d|n} \mu(d) = \sum_{k=0}^{s} (-1)^k C_{s}^{k} = (1-1)^s = 0 $$

歐拉函數 $\varphi$

$$ \varphi(n) \quad = \quad \sum_{i=1}^{n} \quad [gcd(n,i) = 1]$$

歐拉函數的性質

$$\sum_{d|n}\varphi(d) \quad = \quad n \qquad \quad \ \quad \ 寫爲Dirichlet卷積形式爲：\varphiI=id\ \quad \ 即：(\varphiI)(n)= \sum_{d|n}\varphi(d)I(\frac{n}{d})\ = \sum_{d|n}\varphi(d) = n = id(n) \ 證 : \sum_{d|n} \varphi(d) = \sum_{d|n} \varphi(\frac{n}{d}) = \sum_{d|n} \sum_{d|i}^{\frac{n}{d}} [gcd(\frac{n}{d},\frac{i}{d})==1] \ \quad = \sum_{d|n} \sum_{i=1}^{n} [gcd(n,i)==d] = n \ 注 : 即枚舉了gcd(n,i)的全部狀況 , 那麼每一個i貢獻爲1 , 求和即爲n \ $$ $$ \sum_{d|n}d\varphi(\frac{n}{d}) \quad = \quad \sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) \ 寫爲Dirichlet卷積形式爲：\varphiid= \sum_{i=1}^{n}gcd(k,n) \ \quad \ 證: \sum_{d|n}d\varphi(\frac{n}{d}) \quad = \quad \sum_{d|n} d \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{n}{d})=1]\ = \sum_{d|n} d \sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i*d,n)=d] = \sum_{i=1}^{n}gcd(i,n) $$

約數個數和函數 $d$

$$ d(n) \quad = \quad \sum_{d|n} \quad 1$$

約數和函數 $\sigma$

$$ \sigma(n) \quad = \quad \sum_{d|n} \quad d $$

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常見數論函數（徹底積性）

元函數 $\epsilon$

$\quad \epsilon(n) \quad = \quad [n=1]$

元函數的性質:$\quad f*\epsilon(n)=f$

恆等函數 $I$

$\quad I(n) \quad = \quad 1$

單位函數 $id$

$\quad id(n) \quad = \quad n$

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莫比烏斯反演相關

莫比烏斯反演

$$ \begin{aligned} 設: &如有:數論函數 f,F \ &已知: f=FI=\sum_{d|n}F(d) \ &則有: F=f\mu=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) \
&證實: f\mu=F*(I*\mu)=F*\epsilon=F \ \end{aligned}$$

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杜教篩相關

杜教篩

待填坑 咕咕咕

時間複雜度

使用Eula篩處理前$n^{\frac{2}{3}}$項時複雜度最優
其複雜度爲$O(n^{\frac{2}{3}})\quad$(請手寫Hash表)

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經常使用套路式

我只是看到過 , 不必定"經常使用"

$$ d(ij) = \sum_{x|i}\sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]$$

$$ \sum_{k=1}^{n} d(k) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{d|k} 1 = \sum_{d=1}^{n} \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $$

$$ \sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{m} [gcd(i,j) = 1] = \sum_{d=1}^{min(n,m)} \mu(d) \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor $$

$$ [gcd(i,j)=1] = \sum_{d|i,d|j} \mu(d) $$