原碼-反碼-補碼的理解

第一 機器碼和真值

在計算機中是以二進制的形式存儲的，即機器數其特色是：

• 是有符號的（最高位表示，1：負數；0：整數）
• 其他位表示真正的數字（即真值）

  第二 原碼 反碼 補碼

  原碼：
  相似於機器碼，是有符號位的。
  反碼：
  正數的反碼等於其原碼自己。
  負數的反碼等於其原碼的符號位保持不變，其他位取反。
  補碼：
  正數的補碼=正數的反碼=正數的原碼
  負數的補碼=其反碼+1
  例如：8位的±3

有符號數	數值	原碼	反碼	補碼
正數	+3	0000 0011	0000 0011	0000 0011
負數	-3	1000 0011	1111 1100	1111 1101

第三 反碼和補碼的做用

對於計算機而言，加減乘除是最基本的運算，所以要設計的要儘可能的簡單，若是讓計算機來辯解符號位，就會增長設計的複雜度，所以工程師設計出了一個方法：讓符號位也參加算術的運算， 好比：3-3設計爲3 + (-3)，於是對於機器而言只有加法沒有減法運算；因而就要用到反碼和補碼。

• 若是使用反碼進行運算：
  3 - 3 = 3 + (-3)
  = 0000 0011 + 1000 0011 #原碼
  = 0000 0011 + 1111 1100 #反碼
  = 1111 1111 #反碼
  = 1000 0000 #原碼
  = -0
  當用反碼進行計算時，真值部分是對的，可是符號位帶有±，對於0而言是沒有正負的，若是用正負是沒有意義的。且會有兩個二進制來編碼0.
• 使用補碼進行計算
  3 - 3 = 3 + (-3)
  = 0000 0011 + 1000 0011 #原碼
  = 0000 0011 + 1111 1100 #反碼
  = 0000 0011 + 1111 1101 #補碼
  = 0000 0000 #補碼
  = 0000 0000 #原碼
  = 0
  這樣0用0000 0000來表示，則-0則不存在啦,所以下列二進制分別表示8位的127：-128

數字	二進制
127	0111 1111
126	0111 1110
...	......
1	0000 0001
0	0000 0000
-1	1000 0001
...	......
-127	1111 1111
-128	1000 000

第四：同餘

floor(x/y) 爲地板除法，即所得實數向下取整 或 向上取整-1
            floor(2/3)  = 0  or [0.667]   - 1 = 1 - 1 = 0
            floor(-2/3) = -1 or [-0.667] - 1 = 0 - 1  = -1
    若是兩個整數除以M所獲得的餘數相等，則稱該兩個整數對於mo模M是相等的。
    如：5 % 3 = 2 ；8 % 3 = 2，則5 和8對於模3是相等的。
    用數學公式表示爲：5 ≡  8 （mod 3）
            正數同餘數：很好理解 5 % 3 = 2
            負數同餘數：X % Y = X - Y * (floor(X / Y)) 
                    如：-2 % 3 = -2 - 3 * floor(-2/3) = -2 - 3 * (-1) = 1

    如何判斷一個整數和一個負數是否同餘數呢(假設分母爲M)?
            正數A = M - |負數B|，則異號的A和B對於M同餘數。如-2和1對於3同餘數。

   同餘數具備如下性質：
   1. 反自身性：
          X ≡ X % M，即自身的餘數與自身同餘數
   2. 線性性質：
          x1 ≡ y1 % M && x2 ≡ y2 % M,則
          x1 ± x2 ≡ (y1 ± y2) % M
          x1 * x2 ≡ (y1 * y2) % M

    反碼：實際上是其一個同餘數
    如：1的反碼：0000 0001->0000 0001 將其當作原碼爲：1
          -1的反碼：1000 0001->1111 1110  將其當作原碼（去掉符號位）：2^7 - 1 -1 = 126
          則負數與其反碼（去掉符號位對應的機器碼）爲同餘數，即找到了負數的同餘數
          模爲正數+|負數|，如126 + |-1| = 127
          2 - 1 ≡ (2 + 126) % 127

          在反碼的基礎上+1，是增長了模的大小，即增長了轉一圈的大小，
   所以用補碼所能表示的範圍爲-128,128，因爲0的存在，因此正數往前移動一個單位
   即補碼所能表示的範圍爲：[-128,127]。

第五：左移和右移

左移和右移是在補碼上進行操做的，通常會有運算位移和邏輯位移。
    運算位移：符號位不變
    邏輯爲宜：符號位發生變化，用0填充空的位
    例如：

int main()
{
    int a = 3;
    int b = -3;
    // 數字    原碼            反碼           補碼           右移
    // 3         0000 0011  0000 0011  0000 0011  0000 0001   // 去掉最右邊的（1）
    // -3        1000 0011  1111 1100  1111 1101   1111 1110    // 去掉最右邊的
    // 補碼->原碼：1111 1110 -1 獲得反碼：1111 1101 取反獲得原碼：1000 0010（-2）
    printf("a = %d and a >> 1 = %d\n", a, a >> 1);
    printf("b = %d and b >> 1 = %d\n", b, b >> 1);
    return 0;
}

第六：位操做

按位與：&       # 同爲1則爲1，反之爲0
    按位或：|        # 只要有一個爲1，則爲1，反之爲0
    按位異或：^    # 只要不一樣（一個1和一個0）則爲真，相同爲0

int main()
{
    int num1 = 3;
    int num2 = 5;
    int num3 = -3;
    int num4 = -5;
    printf("正數的位操做\n");
    printf("%d & %d = %d\n", num1, num2, num1 & num2);  // 1
    printf("%d | %d = %d\n", num1, num2, num1 | num2);  // 7
    printf("%d ^ %d = %d\n", num1, num2, num1 ^ num2);  // 6
    printf("負數的位操做\n");  
    printf("%d & %d = %d\n", num3, num4, num3 & num4);  // -7
    printf("%d | %d = %d\n", num3, num4, num3 | num4);  // -1
    printf("%d ^ %d = %d\n", num3, num4, num3 ^ num4);  // 6
    printf("負數和正數的位操做\n");
    printf("%d & %d = %d\n", num1, num4, num1 & num4);  // 3
    printf("%d | %d = %d\n", num1, num4, num1 | num4);  // -5
    printf("%d ^ %d = %d\n", num1, num4, num1 ^ num4);  // -8
    return 0;
}

解析：
原碼 反碼 補碼
num1 0000 0011 0000 0011 0000 0011
num2 0000 0101 0000 0101 0000 0101
num3 1000 0011 1111 1100 1111 1101
num4 1000 0101 1111 1010 1111 1011

num1 & num2 = 3 & 5 = 0000 0001 補碼=反碼=原碼=1
num1 | num2) = 3 | 5 = 0000 0111 補碼=反碼=原碼=7
num1 ^ num2) = 3 ^ 5 = 0000 0110 補碼=反碼=原碼=6

num3 & num4) = -3 & -5 = 1111 1001 -> 1111 1000 -> 1000 0111 = -7
num3 | num4) = -3 | -5 = 1111 1111 -> 1111 1110 -> 1000 0001 = -1
num3 ^ num4) = -3 ^ -5 = 0000 0110 -> 補碼=反碼=原碼=6
num1 & num4) = 3 & -5 = 0000 0011 -> 補碼=反碼=原碼=3
num1 | num4) = 3 | -5 = 1111 1011 -> 1111 1010 -> 1000 0101 = -5
num1 ^ num4) = 3 ^ -5 = 1111 1000 -> 1111 0111 -> 1000 1000 = -8

6.1 應用-不借助中間變量交換兩個數

int main()
{
    // 進行3次的按位異或操做，並將結果分別保存到第一 第二 第一個操做變量中
    int a = 3;
    int b = 4;
    printf("交換以前：a = %d and b = %d\n", a, b);
    a = a ^ b;
    b = a ^ b;
    a = a ^ b;
    printf("交換以後：a = %d and b = %d\n", a, b);
    return 0;
}

可是用加減法也能夠
缺點：可能會溢出（當兩個較大的數相加時）

int main()
{
    // 進行1次加法，兩次減法操做，並將結果分別保存到第一 第二 第一個操做變量中
    int a = 3;
    int b = 4;
    printf("交換以前：a = %d and b = %d\n", a, b);
    a = a + b;
    b = a - b;
    a = a - b;
    printf("交換以後：a = %d and b = %d\n", a, b);
    return 0;
}

6.2 應用-統計一個整數在內存存放的二進制中有多少個1

int main()
{
    // 由於任何一個數的二進制的補碼的最後一位是1，則其和1進行按位與運算則爲1，反之爲0，進行1..31次位移
    int i;
    int num;
    int count = 0;
    scanf("%d", &num);
    for (i = 0; i < 32; i++) // 由於num佔四個字節，32個比特位
    {
        if (1 == ((num >> i) & 1))
        {
            count++;
        }
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

或者

int main()
{
    int num;
    scanf("%d", &num);
    int count = 0;//計數
    while (num)
    {
        count++;
        num = num & (num - 1);
    }
    printf("二進制中1的個數 = %d\n", count);
    return 0;
}