深刻理解原碼，反碼，補碼的原理

深刻理解原碼，反碼，補碼的原理

預備知識

二進制，十六進制，二進制與十進制的轉化運算

根據馮諾依曼結構的運算器，只有加法運算器，沒有減法運算器

因此，計算機中不是直接作減法，是經過加法來實現的。因此就必須引入一個符號位

原碼，反碼，補碼 的產生就是爲了解決這個問題

原碼

最簡單的機器數表示法

原碼：

最高位表示符號位，1表示負，0表示正

其餘位存放該數的二進制的絕對值

直接用原碼運算

0001+0010=0011    （1+2=3）正確
0000+1000=1000    （(+0)+(-0)=-0）
0001+1001=1010    （1+（-1）=-2）出錯
1001+1001= ？

原碼正數之間的加法一般不會出錯

正數與負數相加，或負數與負數相加，問題就出現了

因此，原碼直觀易懂，易於正值轉換，但用來實現加減法的話，運算規則總歸是太複雜，因而反碼來了

反碼

原碼最大的問題就在於一個數加上他的相反數不等於零，反碼的設計思想就是爲了解決這一點

反碼：

正數的反碼=原碼

負數的反碼=原碼除符號位外，按位取反

咱們試着用反碼運算

0001+1110=1111 (1+(-1)=(-0))  有點問題，也正確
1110+1101=1011 (-1)+(-2)=(-4) 兩個負數相加，出錯

負數相加出錯，問題不大，咱們只須要在兩個負數相加時，將兩個負數反碼包括符號位所有按位取反相加，而後再給他的符號位強置‘1’就能夠了。

反碼錶示法其實已經解決了減法的問題，他不只不會像原碼那樣出現兩個相反數相加不爲零的狀況，並且對於任意的一個正數加負數，計算結果是正確的

而後就有了補碼

補碼

補碼：

正數的補碼=原碼

負數的補碼=反碼+1

負數的補碼的另一種算法:

自低位向高位，尾數第一個1及其右部的0保持不變，左部取反，符號位不變

其實上面兩段話，都只是補碼的求法，而不是補碼的定義，基礎工做者並不會心血來潮的把反碼+1就定義爲補碼，只不過是補碼正好就等於反碼加1罷了

暫時先忘記書上那句負數的補碼等於它的反碼+1，咱們的理解陷入了誤區

這也是爲何《計算機組成原理》要**特地先講補碼，再講反碼

接下來咱們要重點講講補碼的思想

補碼的思想

爲了理解，先得引入模和同餘的思想

模 其實就是一個計量器的容量大小，好比鐘錶的模M=12

同餘 是指兩個整數A和B除以同一個正整數M，所得餘數相同，好比1點和13點，2點和14點就是同餘的，能夠寫做

1 = 13 mod (12), 2 = 14 mod (12)

若是說如今時針如今停在10點鐘，那麼何時時針會停在8點鐘呢？

這麼說吧，由於過去2個小時前是8點，因此將來10個小時候也是8點

也就是說：倒撥2小時 或 正撥10小時 都是八點鐘

10-2=8,(10+10)mod(12)=8

因此，10-2和10+10從另外一個角度來看是等效的，它都使時針指向了8點鐘

既然是等效的，那在時鐘運算中，減去一個數，其實就至關於加上另一個數（這個數與減數相加正好等於12，也就是同餘數）

我再次強調，原碼，反碼，補碼的引入是爲了解決作減法的問題。在原碼，反碼錶示法中，咱們把減法化爲加法的思惟是減去一個數，等於加上一個數的相反數，結果因爲引入符號位形成了各類問題

那你應該知道我要說什麼了，利用模和同餘的概念，咱們能夠使減法運算轉化爲加法運算

而如今，咱們不引入負數的概念，就能夠把減法當成加法來算

因此接下來咱們聊4位二進制數的運算，也沒必要急於引入符號位。由於補碼的思想，把減法當成加法時並非必需要引入符號位的。

並且咱們能夠經過下面的例子，也許能回答另外一個問題，爲何負數的符號位是‘1’，而不是正數的符號位是‘1’

四位二進制補碼運算實例

0110 - 0010 (6-2=4) 計算機中沒有減法器,不能直接算

可是如今你知道，減去一個數，能夠等同於加上另一個正數（同餘數）

那麼這個數是什麼呢？時鐘運算中咱們能夠看出這個數與減數相加正好等於模M=12

四位二進制數的模(計量器)=四位二進制數最大容量=2^4=16=10000B

那麼2(0010)的同餘數，就等於10000-0010=1110（14）

既然如此

0110(6) - 0010(2) = 0110(6) + 1110(14) = 10100(16+4=20)

OK，咱們看到按照這種算法得出的結果是10100，可是對於四位二進制數，最大隻能存放4位（硬件決定），正好是0100(4)，就是咱們想要的結果，至於最高位的1，計算機會把他放入psw寄存器進位位中。8位機則會放在cy中，x86會放在cf中（不做討論）

這個時候，咱們再想一想在四位二進制數中，減去2，就至關於加上它的同餘數14

可是減去2，從另一個角度來講，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其實獲得的二進制結果除了進位位，結果是同樣的。

若是咱們把1110（14）的最高位看做符號位後就是（-2）的補碼，這可能也是爲何負數的符號位是‘1’而不是‘0’，

並且在有符號位的四位二進制數中，能表示的只有‘-8~7’，而無符號位數（14）的做用和有符號數（-2）的做用效果實際上是同樣的。

那正數的補碼呢？加上一個正數，加法器就直接能夠實現。因此它的補碼就仍是它自己。

到這裏，咱們發現原碼，反碼的問題，補碼基本解決了。

作減法時，0001（1）+1111（-1）=0000，咱們不再須要一個1000來表示負0了，就把1000規定爲-8

負數與負數相加的問題也解決了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)

爲何能夠+1

而後咱們再來看看爲何負數的補碼的求法爲何是反碼+1

由於負數的反碼加上這個負數的絕對值正好等於1111，再加1，就是1000，也就是四位二進數的模

而負數的補碼是它的絕對值的同餘數，能夠經過模減去負數的絕對值，獲得他的補碼。

因此，負數的補碼就是它的反碼+1

算補碼的小技巧

若是咱們把-8當成負數的原點。那麼-5的補碼是多少呢？

-5 = -8 + 3

-5的補碼就是-8的補碼加3

1000(-8) + 0011(3) = 1011(-5)

也能夠記住-1的補碼是1111口算減法得出

1111(-1) - 0100(4) = 1011(-5)

對於八位加法器的話，能夠把-128當補碼原點。十六位能夠把-32768當補碼原點。

是的，128是256（八位二進制數的模）的一半，32768是65536（十六位二進數的模）的一半

也很方便有沒有，並且簡單的是

補碼原點老是最高位是‘1’，其餘位是‘0’

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