算法與數據結構基礎 - 拓撲排序(Topological Sort)

時間 2019-11-07

標籤算法數據結構基礎拓撲排序 topological sort 简体版

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拓撲排序基礎css

拓撲排序用於解決有向無環圖(DAG,Directed Acyclic Graph)按依賴關係排線性序列問題，直白地說解決這樣的問題：有一組數據，其中一些數據依賴其餘，問可否按依賴關係排序(被依賴的排在前面)，或給出排序結果。html

最經常使用解決拓撲排序問題的方法是Kahn算法，步驟能夠歸納爲：node

1. 根據依賴關係，構建鄰接矩陣或鄰接表、入度數組
2. 取入度爲0的數據(即不依賴其餘數據的數據)，根據鄰接矩陣/鄰接表依次減少依賴其的數據的入度
3. 判斷減少後是否有新的入度爲0的數據，繼續進行第2步
4. 直到全部數據入度爲0、獲得拓撲排序序列，或返回失敗(存在環形依賴)

其中二、3兩個步驟取入度爲0數據、減少依賴其的數據的入度，過程像樹的寬度優先搜索，用到相似BFS方法；以上過程用僞代碼表示以下：git

L ← Empty list that will contain the sorted elements
S ← Set of all nodes with no incoming edge
while S is non-empty do
    remove a node n from S
    add n to tail of L
    for each node m with an edge e from n to m do
        remove edge e from the graph
        if m has no other incoming edges then
            insert m into S
if graph has edges then
    return error   (graph has at least one cycle)
else 
    return L   (a topologically sorted order)

下面看具體例子 207. Course Schedule (有n個課程，課程間有依賴關係，問可否完成全部課程)：github

    //207. Course Schedule
    bool canFinish(int numCourses, vector<pair<int, int>>& prerequisites) {
        //構建鄰接矩陣、入度數組
        vector<vector<int>> adj(numCourses);
        vector<int> indegree(numCourses,0);
        for(auto x:prerequisites){
            adj[x.second].push_back(x.first);
            indegree[x.first]++;
        }
        //相似BFS
        queue<int> q;
        for(int i=0;i<numCourses;i++)
            if(indegree[i]==0) q.push(i);
        while(!q.empty()){
            int cur=q.front();
            q.pop();
            numCourses--;
            for(auto next:adj[cur])
                if(--indegree[next]==0) q.push(next);//新入度爲0的先處理，這與正統BFS有區別
        }
        //判斷最後全部數據入度爲0
        return numCourses==0;
    }