《時間序列分析——基於R》王燕，讀書筆記

筆記：

1、檢驗：

一、平穩性檢驗：

• 圖檢驗方法：
  

    時序圖檢驗：該序列有明顯的趨勢性或週期性，則不是平穩序列

    自相關圖檢驗：（acf函數）平穩序列具備短時間相關性，即隨着延遲期數k的增長，平穩序列的自相關係數ρ會很快地衰減向0（ 指數級衰減），反之非平穩序列衰減速度會比較慢

 

• 構造檢驗統計量進行假設檢驗：單位根檢驗adfTest()——fUnitRoots包
  

二、 純隨機性檢驗、白噪聲檢驗（Box.test（data，type，lag=n）——lag表示輸出滯後n階的白噪聲檢驗統計量，默認爲滯後1階的檢驗統計量結果）

一、Q統計量：type=「Box-Pierce」

二、LB統計量：type=「Ljung-Box」

2、模型

一、ARMA平穩序列模型

1.1平穩性檢驗

1.2ARMA的p、q定階——acf（），pacf（），auto.arima（）自動定階

1.3建模arima()

1.4模型顯著性檢驗： 殘差的 白噪聲 檢驗Box.test（）；參數顯著性檢驗t分佈

二、非平穩肯定性分析

2.1趨勢擬合：直線、曲線（通常是多項式，還有其它函數）

2.2 平滑法

• 移動平均法：SMA()——TTR包
  
• 指數平滑法：HoltWinters()
  

三、非平穩隨機性分析

3.1ARIMA

1平穩性檢驗，差分運算

2擬合ARMA

3白噪聲檢驗

3.2疏係數模型arima（p,d,f）

3.3季節模型

能夠疊加的模型

四、殘差自迴歸模型：

4.1創建線性模型

4.2對滯後的因變量間擬合線性模型，對模型作 殘差自相關 DW檢驗。 dwtest()——lmtest包，增長選項order.by指定延遲因變量

4.3對殘差創建ARIMA模型

五、條件異方差模型： 異方差檢驗：LM檢驗ArchTest（）——FinTS包，用ARCH、GARCH模型建模

第一章 簡介

• 統計時序分析方法：
  

一、頻域分析方法

二、時域分析方法

• 步驟：
  

一、觀察序列特徵

二、根據序列特徵選擇模型

三、肯定模型的口徑

四、檢驗模型，優化模型

五、推斷序列其它統計性質或預測序列未來的發展

• 時域分析研究的發展方向：
  

一、AR，MA，ARMA，ARIMA（Box-Jenkins模型）

二、異方差場合：ARCH，GARCH等（計量經濟學）

三、多變量場合：「變量是平穩」再也不是必需條件，協整理論

三、非線性場合：門限自迴歸模型，馬爾科夫轉移模型

第二章 時間序列的預處理

預處理內容：對它的平穩性和純隨機性進行檢驗，最好是 平穩非白噪聲的序列

一、特徵統計量

1.1機率分佈分佈函數或密度函數可以完整地描述一個隨機變量的統計特徵，一樣一個 隨機變量族{Xt}的統計特性也徹底由它們的聯合分佈函數或聯合密度函數決定。

1.2特徵統計量：

• 均值Ex
  
• 方差σ²
  
• 自協方差函數（γ）和自相關係數(ρ)：比較的是1個事件不一樣時期之間的相互影響程度
  

二、平穩的時間序列

2.1定義

• 嚴平穩：隨機變量族的統計性質徹底有它們的聯合機率分佈族決定，若任意的t下的聯合機率分佈族相等，則認爲該序列是嚴平穩的
  
• 寬平穩：統計性質主要由它的低階矩決定：
  

1）Ex2<無窮

2）均值爲常數：Ex= μ（ μ爲 常數）

3）自協方差和自相關係數只依賴於時間的平移長度而與時間的起止點無關

知足以上3點則稱爲寬平穩時間序列（弱平穩或者二階平穩）

例子：正態分佈

通常知足寬平穩就稱做平穩序列，當 寬平穩 序列服從多元正態分佈時，二階平穩能夠推出嚴平穩。

2.2性質

1）均值爲常數：Ex= μ（ μ爲 常數）

2）自協方差和自相關係數只依賴於時間的平移長度而與時間的起止點無關

自相關係數知足相關性係數的3性質：規範性、對稱性和非負定性

一個平穩時間序列必定惟一決定它的自相關函數，一個自相關函數未必惟一對應一個平穩時間序列

三、時序圖與自相關圖

1）時序圖：橫軸爲時間，縱軸爲序列取值

2）自相關圖 ：橫軸爲延期時期數，縱軸爲自相關係數

四、平穩性檢驗

圖檢驗方法

• 時序圖檢驗：該序列有明顯的趨勢性或週期性，則不是平穩序列
  
• 自相關圖檢驗：（acf函數）平穩序列具備短時間相關性，即隨着延遲期數k的增長，平穩序列的自相關係數ρ會很快地衰減向0，反之非平穩序列衰減速度會比較慢
  

構造檢驗統計量進行假設檢驗：單位根檢驗P205

五、純隨機序列——白噪聲

5.1定義

1）Ex= μ（ μ爲 常數）

2）自相關係數 γ 爲0（t！=s），或爲 σ ² （t=s）

在平穩序列中，若是序列值之間沒有任何相關性，即一個沒有記憶的序列知足以上2個條件，這種序列稱爲 純隨機序列，也稱爲白噪聲序列。記爲X~WN( μ ， σ ² )，這是一種最簡單的平穩序列。：好比：標準正態分佈

5.2性質

1）純隨機序列各項之間沒有任何關聯， γ= 0 ，隨機事件呈現出純隨機波動的特徵，就認爲該隨機事件沒有包含任何值得提取的有用信息。

2）方差齊性：序列中每一個方差都相等爲 σ ²

5.3純隨機性檢驗（Box.test（data，type，lag=n）——lag表示輸出滯後n階的白噪聲檢驗統計量，默認爲滯後1階的檢驗統計量結果）

一、Q統計量：type=「Box-Pierce」

二、LB統計量：type=「Ljung-Box」

• 平穩序列一般具備短時間相關性，若序列之間存在顯著的相關關係，一般只存在於延遲時期比較短的序列值之間，所以lag不用所有進行延遲檢驗。

第三章 平穩時間序列分析——ARMA

一、差分運算

1）p階差分：p-1階差分後序列再進行一次1階差分運算成爲p階差分運算

2）k步差分：相距k期的兩個序列值之間的減法運算稱爲k步差分運算

二、延遲算子：將當前序列值乘以一個延遲算子，即把當前序列值的時間向過去撥一個時刻，記B爲延遲算子，則有：

x _t-1=B*x _t

x_t-2=B ² *x_t

...

x_t-p=B ^p *x_t

用延遲算子表示差分運算：

1） p階差分：（1-B）^px_t

2） k步差分：（1-B^k）x_t

三、線性差分方程： z _t +a ₁ z_t-1+a₂z_t-2+...+a_pz_t-p=h(t)（p>=1）

• 齊次線性差分方程：h(t)=0
  
• 非齊次線性差分方程：
  

四、 ARMA模型——自迴歸移動平均模型

一、AR模型

二、MA模型

三、ARMA模型：適用於 平穩白噪聲序列

平穩序列建模步驟：P72

1）求出該觀察值序列的樣本相關係數（ACF）和樣本偏相關係數（PACF）

2）選擇ARMA(p，q)的參數p和q，進行擬合：自動定階參數auto.arima（）——須要zoo包和forecast包P79

3）檢驗模型的有效性：模型顯著性檢驗（殘差序列應該爲白噪聲序列）和參數顯著性檢驗

4）多創建幾個擬合模型，選擇最優模型

5）預測forecast()——須要 forecast包P100

第四章 非平穩序列——肯定性時序分析

4.1非平穩時序的分解：

1）Wold分解定理：對於任何一個離散平穩過程{xt}，它均可以分解爲兩個不相關的平穩序列之和，其中一個爲肯定性的，另外一個爲隨機性的。

2） Cramer分解定理：任何一個時間序列 {xt}均可以分解爲兩部分的疊加，其中一部分是由多項式決定的肯定性趨勢成分，另外一個是平穩的0均值偏差成分

4.2肯定性因素分解

• 四大類因素：
  

1）長期趨勢

2）循環波動

3）季節性變化

4）隨機波動

• 相互做用模式

1）加法模型

2）乘法模型

• 目標
  

1）克服其它因素影響，單純測度某一個肯定性因素的（長期趨勢或季節效應）

2）推斷出各類肯定性因素彼此之間的相互做用關係以及它們對序列的綜合影響

• 侷限
  

1）肯定性因素分解方法只能提取強勁的肯定性信息， 對隨機性信息浪費嚴重

2）肯定性因素分解方法把全部序列的變化都歸結爲四因素的綜合影響，卻始終沒法提供明確、有效的方法判斷各大因素之間確切的做用關係

4.3趨勢分析

• 趨勢擬合法
  

線性擬合：lm()

曲線擬合：lm或nls，二次型，指數型。。。

• 平滑法
  

移動平均法：SMA()——TTR包

指數平滑法：HoltWinters()

4.4季節效應分析：構造季節指數S=季節平均數/總平均數

4.5綜合分析decompose()

第五章 非平穩序列——隨機時序分析

5.1差分運算：肯定信息提取：diff(x，lag，differences)——lag爲差分的步長，默認1；differences爲差分次數，默認爲1

• 線性趨勢，1階差分就能夠實現趨勢平穩
  
• 曲線趨勢，低階（2階或3階）差分就能夠提取曲線趨勢的影響
  
• 週期序列，步長爲週期長度的差分運算
  
• 綜合：趨勢+週期的序列——1階差分去掉線性趨勢，在1階差分的基礎上進行12步差分去掉年爲單位的週期影響(季節波動)
  

過差分現象：過屢次數的差分致使有效信息的無謂浪費而下降了估計的精度。檢測方法是在計算方差，若高階差分序列的方差大於低階，則多是過差分現象

5.2 ARIMA模型—— 差分運算與ARMA模型的組合

例子：隨機遊走模型（有效市場理論核心）：從起始點找醉漢

性質： 平穩性和方差齊性

• ARIMA模型
  
• 梳係數模型：模型中有部分自相關係數或平滑係數爲0（將自相關較小的階數的係數設置爲0，其它大於2D的係數爲NA）
  
• 季節模型（加法，乘積）
  

差分方法

• 優勢：對肯定性信息的提取比較充分
  
• 侷限：很難對模型進行直觀解釋
  

自相關：

5.3 殘差自迴歸模型： 用肯定性因素提取序列中主要的肯定性信息，檢驗殘差序列的自相關性，若自相關性顯著，能夠考慮對殘差序列擬合自迴歸模型P163（模型的殘差再建模型！）

殘差自相關檢驗：Durbin-Watson(DW)檢驗--> dwtest()——lmtest包

Durbin h檢驗： dwtest()——lmtest包，增長選項order.by指定延遲因變量

異方差：

5.4異方差 狀況：隨機偏差序列的方差再也不是常數，它會隨着時間的變化而變化

5.5方差齊性變換：對於標準差與水平成正比的異方差序列，對數變換能夠有效地實現方差齊性。P174

5.6條件異方差模型（波動信息）

集羣效應：在消除肯定性平穩因素的影響以後，殘差序列的波動在大部分時段是平穩的，但會在某些時段 波動 持續偏大，在某些時段波動持續偏小。

ARCH模型——自迴歸條件異方差模型： 只適用於異方差短時間自相關過程

ARCH檢驗P179

• 拉格朗日乘子檢驗（LM檢驗）ArchTest（）——FinTS包
  
• PortmanteauQ檢驗：對殘差平方序列進行純隨機性檢驗Box.test（）
  

GARCH模型：在ARCH模型中增長考慮了異方差函數的p階自相關性而造成的，能夠有效地擬合據有長期記憶性的異方差函數

第六章 多元時間序列分析

6.3單位根檢驗P211： adfTest()——fUnitRoots包

DF檢驗：

• type=「nc」：無常數均值，無趨勢類型
  
• type=「c」：有常數均值，無趨勢類型
  
• type=「ct」：有常數均值，又有趨勢類型
  

非平穩3大類型：

一、 無漂移項自迴歸（不帶漂移項的差分平穩序列，DS序列）：均值序列非平穩，方差非齊（隨機遊走模型）

二、帶漂移項自迴歸（帶漂移項的差分平穩序列）：有趨勢且波動性不斷加強的非平穩序列

三、帶趨勢迴歸（趨勢平穩序列，TS）：最好經過線性擬合提取序列相關關係，使殘差序列平穩

ADF檢驗：

6.4協整：兩個非平穩序列之間具備穩定的線性關係

來自爲知筆記(Wiz)