散列表——數據結構

一，散列表的基本概念

直接將元素的儲存位置和其關鍵字之間建立某種直接關係，那麼在進行查找時，就無需做比較或做很少次的比較，按照這種關係直接由關鍵字找到相應的記錄，這就是散列表查找法的思想。

它通過對元素關鍵字值進行某種運算，直接求出元素的地址，即使用關鍵字到地址的直接轉換方法，而不需要反覆比較。因此散列查找法又稱爲雜湊法或散列法

散列表中的術語：

• 散列函數和散列地址：在記錄的存儲位置p和其關鍵字key之間建立一個確定的對應關係H，使得p=H(key)，稱這個對應關係H爲散列函數，p爲散列地址
• 散列表：一個有限連續的地址空間，用以存儲按散列函數計算得到相應散列地址的數據記錄。通常散列表的存儲空間是一個一維數組，散列地址是數組的下標。
• 衝突和同義詞：對不同的關鍵字可能得到同一散列地址，即key1 != key2，但是H(key1) == H(key2)，這種現象稱爲衝突。具有相同函數值的關鍵字對該散列表函數來說稱爲同義詞，key1與key2互稱爲同義詞。
• eg：A稱爲關鍵字key，則A經過關係H後，在數組中的位置稱爲存儲位置p；而不同的關鍵字8，4，經過關係（關鍵字%2）得到的存儲地址都是0，稱爲衝突，而8，4則爲同義詞

• 二，散列函數的構造方法

要求：

• 函數計算要簡單，每一關鍵字只能由一個散列地址與之對應
• 函數的值域需在表長的範圍內，計算出的散列地址的分佈應均勻，儘可能減少衝突。

1，數字分析法

       適用情況：事先必須明確直到所有關鍵字每一位上各種數字的分佈情況，然後找到隨機的部分作爲散列地址

       eg：一串數組   123685311   123193511  123387411  123338911  123346511  123824711   123395411

               如這串數字可知，前三個數字和後兩個都一樣，所以這五位就不不能作爲散列地址，而中間四位近乎隨機，所以可以將中間四位任意搭配作爲散列地址。

2，平方取中法

        使用情況：不能事先了解關鍵字的所有情況，或難於直接從關鍵字中找到取值分散的幾位

        因爲在選定散列函數時不一定能知道關鍵字的全部情況，那麼取關鍵字中的哪幾位也不一定合適。所以將關鍵字平方後取中是一種比較常見的方法；

eg:關鍵字     內部編碼          內部編碼平方          取中做散列地址 

• IDA1     09040101       081723426090201     426
• IDB2     09040202       081725252200804     252
• XID3     24090403       580347516702409     516
• YID4     25090404       629528372883216     372

3，摺疊法

           使用情況：適合於散列地址的位數較少，而關鍵字的位數較多，且難於直接從關鍵字中1找到取值較分散的幾位

            eg:當散列表位數爲1000，而關鍵字key=45387765213，則可以將關鍵字按3位一段分割得到：453 877 652 13。採用移位疊加：453+877+652+13=995，H(key)=995；邊界疊加453+778+652+31=914，H(key)=914；即爲兩種方法的散列地址

（移位疊加是將分割後的每一部分的最低位對齊，然後相加；邊界疊加是將兩個相鄰的部分沿邊來回摺疊，然後對齊相加）

4，除留餘數法

這種方法計算簡單，適用範圍廣，是最常見的構造散列函數的方法。它不僅可以對關鍵字直接取模，也可在摺疊，平方取中等運算之後取模，這樣能夠保證散列地址一定落在散列表的地址空間中。

eg：假設散列表表長爲m，選擇一個不大於m的數p，用p去除關鍵字，除後所得餘數爲散列地址：H(key)=key%p。（這個方法的關鍵是選取適當的p，一般情況下，可以選取p爲小於表長的最大質數。例如，表長爲100，可以取p=97）

三，處理衝突的方法

1，開放尋址法

（1）開放尋址法

將散列表想成一個循環表，發生衝突時，從衝突的下一單元順序尋找空單元，如果最後一個位置也沒找到空單元，則回到表頭開始繼續查找，直到找到一個空位，就把此元素放入此空位中。如果找不到空位，則說明散列表已滿，需要進行溢出處理

按照加一，加二，加三的順序往後找（1，2，3，4，5，6，7，8........m-1）

（2）二次探測法

和線性探測法類似，但是按照另一種方法增加即（1*1，-1*1，2*2，-2*2，3*3，-3*3........k*k，-k*k（k<=m/2））

（3）僞隨機探測法

 設d=僞隨機序列，則散列地址=(H(key)+d)%m;

2,鏈地址法

把具有相同散列地址的記錄放在同一個單鏈表中，稱爲同義詞鏈表。

如果關鍵字AA,AAA,AAAA和A的散列地址相同，BB,BBB,BBBB和B的散列地址相同，則存儲如下

算法分析

1,雖然散列表在關鍵字與記錄的存儲位置之間建立了直接映像，但由於衝突的發生，使得散列表的查找過程依然是一個給定值和關鍵字進行比較的過程。因此仍需以平均查找長度作爲衡量散列表查找效率的量度。

2，查找過程中需和給定值進行比較的關鍵字個數取決於三個因素：散列函數，處理衝突的方法和填裝因子。

填裝因子a=表中填入的記錄數/散列表的長度

a越小，發生衝突的可能性就越小，a越大，表中已經填入的記錄越多，發生衝突的可能性就越大。

3，散列函數的「好壞」首先影響出現衝突的頻繁程度。但一般情況下認爲，凡是「均勻的」散列函數，對同一組隨機數的關鍵字，產生衝突的可能性相同，假設所設定的散列函數是「均勻的」，則影響平均查找長度的因素只有兩個——處理衝突的方法和填裝因子a。

 

查找成功時平均查找長度=1/m*（第一層個數*1+第二層個數*2+第三層個數*3+.....）；

查找失敗時平均查找長度=1/m*（第一個同地址的數量+第二個相同地址的數量+......）；