148.離散數學_謂詞邏輯

1謂詞

1.1引入

在研究命題邏輯中，原子命題是命題演算中最基本的單位，再也不對原子命題進行分解，這樣會產生兩大缺點：

（1）不能研究命題內部的結構，成分和內部邏輯的特徵；

（2）也不可能表達兩個原子命題所具備的共同特徵，甚至在命題邏輯中沒法處理一些簡單又常見的推理過程。

例如 著名的「蘇格拉底三段論」：
凡人都是要死的，
蘇格拉底是人，
因此蘇格拉底是要死的。

顯然，該論證是正確的，但不能用命題邏輯的推理規則推導出來。

1.2定義

咱們可將原子命題分解成兩部分：個體（名詞，代詞）+  謂詞（動詞）。

例如： 人老是要死的

是無理數。 

小王比小明高。

在命題的研究中，基於謂詞分析的邏輯，稱爲謂詞邏輯。謂詞邏輯是命題邏輯的擴充和發展。

謂詞邏輯 (對原子命題分割)

1.3謂詞的概念與表示法

簡單命題中表示主體或客體的詞，稱爲個體。一般用a，b，c，…表示。

用以刻畫客體的性質或關係的模式，稱爲謂詞。一般用大寫字母 F，G，H，…表示。

例如 張華是大學生。李明是大學生。

若 G：表示「是學生」，a：表示「張華」，b：表示「李明」.

則上述兩個命題可符號化爲： G(a)與G(b).

例如 小王比小明高。

若 H：表示「…比…高」； a：表示「小王」， b：表示「小明」.

則上述命題可符號化爲：H(a,b).毫不能夠寫爲：H(b, a).

1′謂詞填式：謂詞字母后填以客體所得的式子。  例如： G(a) 、G(b)、H(a, b)

2′若謂詞字母聯繫着一個客體，則稱做一元謂詞;

　　若謂詞字母聯繫着二個客體，則稱做二元謂詞;

　　若謂詞字母聯繫着n個客體，則稱做n元謂詞。

　　一元謂詞表示一個個體所具備的性質；

　　n 元謂詞表示n個個體之間的關係。

3′客體的次序必須是有規定的。

 

 1.4命題函數

1.4.1定義

例如 F:「老是要死的。」

a:「張華」; a:「老虎」 ; c:「桌子」;

則 F(a)，F(b)， F(c)均爲命題。

在上例中，若令 x 表示個體變元， x ɛ {a,b,c}，則 F(x)：x 老是要死的.稱F(x)爲命題函數。 (變化的命題)

1.4.2簡單命題函數

定義：由一個謂詞字母F和一個非空的個體變元集合D所組成的表達式，稱爲簡單命題函數。

分析：

a）當簡單命題函數僅有一個個體變元時，稱爲一元簡單命題函數；

　　當命題函數含有兩個個體變元時，則稱爲二元簡單命題函數。

b）用任何個體去取代客體變元以後，則命題函數就變爲命題；

c）命題函數中個體變元的取值範圍稱爲個體域（論述域）。

例如：F(x) ： x 是質數。 （一元命題函數）
G(x , y)： x 生於 y。（二元命題函數）

其值取決於個體域。

個體域的給定形式有二種：

①具體給定。     eg：{a, b, c}

②全總個體域：宇宙間的一切事物組成的個體域。全部的個體都從該域中取得。

 

1.4.3命題函數化爲命題

將命題函數化爲命題，一般有兩種方法：

1）將 x 取定一個值。             如：F(4)，F(5).

2）將謂詞量化。              如：∀ x F(x)， ∃ x F(x).

例如：任何正整數都大於零。——命題
可表示爲 ∀x F(x).

謂詞與函數的比較

代數	自變量	函數	函數值	定義域
邏輯	個體變元	謂詞	命題	個體域

 

 

 

 

 

2量詞

2.1定義

對個體變元數量限制的詞，稱爲量詞。

2.2全稱量詞

例如 「這裏全部的東西都是蘋果」
可寫成： ∀x A(x)或(∀x) A(x).

「∀」幾種表達式的讀法：
∀ x P(x)： 「對全部的x，x 是…」；
∀ x ¬ P(x) ： 「對全部x，x 不是…」；
¬∀ x P(x) ： 「並非對全部的x，x 是…」；
¬∀ x ¬ P(x) ： 「並非全部的x，x 不是…」。

例如：將「對於全部的 x 和任何的 y，若是 x高於 y，那麼 y 不高於 x」寫成命題表達形式。

解： ∀  x ∀  y (G(x , y) → ¬G(y , x))
G(x , y)：x 高於 y.

2.3存在量詞

「∃」幾種表達式的讀法：
∃ x P(x)： 「存在一個 x，使 x 是…」；
∃ x ¬ P(x) ： 「存在一個 x，使 x 不是…」；
¬ ∃ x P(x) ： 「不存在一個 x，使 x 是…」；
¬ ∃ x ¬ P(x) ： 「不存在一個 x，使 x 不是…」。

例如：（a）存在一我的；
（b）某我的很聰明；
（c）某些實數是有理數
將（a）,（b）,（c）寫成命題。

解：規定：M(x)：x 是人；C(x)：x 是很聰明；
R₁(x)：x 是實數(特性謂詞)；
R₂(x)：x 是有理數；
則 （a） ∃ x M(x) ；
（b） ∃ x (M(x) ∧ C(x))；
（c） ∃ x (R₁(x) ∧ R₂(x)) 。

2.4真值與否認

量化命題的真值：決定於給定的個體域.

例如      給定個體域：{a1，…，an}。

以{a1，…，an}中的每個個體代入

量詞與否認聯結詞「¬」之間的關係：
例：設P(x)表示x今天來校上課， 比較能夠獲得：
　 ¬（∀x)P(x) ⇔ (∃ x)¬ P(x)
　 ¬（ ∃ x)P(x) ⇔ (∀x)¬ P(x)

 

3謂詞公式

3.1定義

不出現命題聯結詞和量詞的謂詞命名式稱爲原子謂詞公式，並用P(x1，…，xn)來表示。

（P爲 n 元謂詞， x1，…，xn爲個體變元），當n=0 時稱爲零元謂詞公式。

謂詞公式的概括法定義：
⑴原子謂詞公式是謂詞公式；
⑵若A是謂詞公式，則¬A也是謂詞公式；
⑶若A, B都是謂詞公式，則(A∧B），(A∨B) ，(A→B)和(A↔B)都是謂詞公式；
⑷若A是謂詞公式，x 是任何變元，則
∀ x A， ∃ x A也都是謂詞公式；
⑸只有按⑴—⑷所生成得的那些公式纔是謂詞公式（謂詞公式又簡稱「公式」）。

 

例如 將下列命題翻譯成謂詞公式。

(1) 凡偶數均能被2整除。

 

(2) 存在着偶素數。

 

(3) 沒有不犯錯誤的人。

(4) 在北京工做的人未必是北京人。

(5) 儘管有些人聰明，但未必一切人都聰明。

(6) 每列火車都比某些汽車快。 

　　某些汽車比全部的火車慢。 

 3.2量詞使用注意

使用量詞時，應注意如下5點：

(1) 在不一樣個體域中，命題符號化的形式可能不同;

(2) 通常,除非有特別說明，均以全總個體域爲個體域;

(3)n元謂詞化爲命題至少須要n個量詞，

(4)多個命題變元出現時，不能隨意顛倒順序，不然命題的含義徹底改變。

(5) 在引入特性謂詞 M(x)時，M(x)以蘊含前件加在「∀」後，以合取項加在「∃」後。即，
對全稱量詞「∀」，用「 M(x)→? 」加入；
對存在量詞「∃」，用「 M(x)∧ ?」加入。

例1：將下面命題符號化。

(1) 全部的有理數都可表成分數。
(2) 有的有理數是整數。

例2：任何整數或是正的，或是負的。

例3：試將蘇格拉底論證符號化：「全部的人老是要死的。由於蘇格拉底是人，因此蘇格拉底是要死的。」

 

3.3 變元的約束

3.3.1定義

轄域：緊接在量詞後面括號內的謂詞公式。

 例如 ∀x P(x) ，∃ x (P(x) ∧ Q(x)) 。

若量詞後括號內爲原子謂詞公式，則括號能夠省去。

約束變元：在量詞的轄域內，且與量詞下標相同的變元。
自由變元：當且僅當不受量詞的約束。

例如： ∀x P(x , y) , ∀x(P(x)→∃ y(P(x , y)) 。

3.3.2約束變元的更名規則

在謂詞公式中，約束變元的符號是能夠更改的。

例如： 

下面介紹約束變元的更名規則：

（a）若要更名，則該變元在量詞及其轄域內的全部出現均需一塊兒更改；

（b）更名時所用的變元符號必須是量詞轄域內不曾出現的符號。

例如：公式 ∀x P(x)→∃ y P(x , y) 可改寫成
∀x P(x)→∃ z P(x , z) ，
但不能改爲：∀x P(x)→∃ x P(x , x) ，
∃ x P(x , x)中前面的x原爲自由變元，如今變爲約束變元了。

3.3.3區別是命題仍是命題函數的方法

（a）若在謂詞公式中出現有自由變元，則該公式爲命題函數；

（b）若在謂詞公式中的變元均爲約束出現，則該公式爲命題。

例如： ∀x P(x, y, z)是二元謂詞，
∃ y ∀x P(x, y, z)是一元謂詞，
∀x P(x)是命題
即謂詞公式中若是沒有自由變元出現，則該公式是一個命題。

 

例1：「沒有不犯錯的人。」
解：設 F(x) 爲「x犯錯誤」，
M(x) 爲「x是人」（特性謂詞）。
可把此命題寫成：

例2： 「x 是 z 的父親且 z 是 y 的母親」。
解：設P(z)：z是人；
F(x , z)：x是z的父親；
M(z , y)：z是y的母親。
則謂詞公式可寫成：

 

且該命題函數表示「x 是 y 的外祖父」。

 

3.4個體域

(1)個體域不一樣，則表示同一命題的謂詞公式的形式不一樣。

例如：「全部的人都是要死的。」
令D(x)：x是要死的。
下面給出不一樣的個體域來討論：
(ⅰ)個體域爲：{人類}，
則可寫成 ∀x D(x) ；

(ⅱ)個體域爲任意域（全總個體域），則人必須首先從任意域中分離出來.
設M(x)：x是人，（M(x)爲特性謂詞）。
命題可寫成∀x(M(x) → D(x)).

(2)   個體域不一樣，則表示同一命題的值不一樣。

設 Q(x): x<5	{-1,0,3}	{-3,6,2}	{15,30}
∀ x Q(x)	T	F	F
∃ x Q(x)	T	T	F

 

 

 

 

 

(3)對於同一個體域，用不一樣的量詞時，特性謂詞加入的方法不一樣。

對於全稱量詞，其特性謂詞之前件的方式加入;

對於存在量詞，其特性謂詞以與的形式加入。

(4)量詞對變元的約束，每每與量詞的次序有關。

例如：∀y ∃x (x < y-2))表示任何 y 均有 x， 使得x < y-2。

 

4謂詞演算的永真公式

4.1定義

　　A，B爲兩個謂詞公式，E爲它們的共同個體域，

若對A和B的任一組變元進行賦值，都有A和B的值相同，

則稱A和B遍佈E是互爲等價的，記爲A ⇔ B.

　　給定謂詞公式A，E是A的個體域。

若給A中個體變元指派E中的每個個體所得命題的值均爲真，

則稱A在E中是永真的。

若E爲任意域則稱A是永真的。

　　給定謂詞公式A，E是A的個體域。

若給A中個體變元指派E中每個個體，在E中存在一些個體名稱，使得指派後的真值爲「T」，則A稱是可知足的。

若給A中個體變元指派個體域中的任一個體，命題的值均爲「F」，則稱A是永假的。

 

4.2謂詞公式的永真式

4.2.1不含量詞的謂詞公式的永真式 

只要用原子謂詞公式去替換命題公式的永真式中的原子命題變元，則在第一章中永真蘊含式和等價公式都可變成謂詞演算中的永真式：

 

4.2.2 含有量詞的等價式和永真蘊含式

 設個體域爲：S={a1，a2，…，an}，咱們有：

說明：
若個體域是有限的，則可省掉量詞。
若個體域是無限的，則可將上述概念推廣從而省去量詞，不過要注意這是由無限項組成的命題。
例如：設個體域爲：N={0,1,2…}，A(x)：x>3 ，則可寫出：
∀ x A(x) ⇔ A(0) ∧ A(1) ∧ A(2)∧ …
∃ x A(x) ⇔ A(0) ∨ A(1) ∨ A(2) ∨ …

證實：設個體域爲： S={a1，a2，…，an}.
¬ ∃ x P(x) ⇔ ¬（P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)）
                  ⇔ ¬ P(a1) ∧ ¬ P(a2) ∧ … ∧ ¬ P(an)
                  ⇔ ∀ x ¬P(x)
下面舉例說明量化命題和非量化命題的差異：否認形式不一樣
例如： 否認下列命題：
    (a)上海是一個小城鎮 A(s)
    (b)每個天然數都是偶數  ∀ x (N(x) → E(x))
上述二命題的否認爲：
    (a)上海不是一個小城鎮  ¬ A(s)
    (b)有一些天然數不是偶數
¬ ∀ x (N(x) → E(x))
(b)有一些天然數不是偶數
¬  ∀ x (N(x) → E(x)) ⇔ ∃ x ¬ (N(x) → E(x))
                  ⇔ ∃ x ¬ (¬ N(x)∨E(x))
                 ⇔ ∃ x (N(x)∧¬ E(x))
結論：對於非量化命題的否認只需將動詞否認，而對於量化命題的否認不但對動詞進行否認，並且對量詞同時進行否認，其方法是：
   ∀ x 的否認變爲∃ x ， ∃ x 的否認變爲∀ x 。

證實：設個體域爲： S={a1，a2，…，an}.
∀x A(x)∨P
    ⇔ (A(a1) ∧ A(a2) ∧ … ∧ A(an) )∨ P
    ⇔ (A(a1) ∨ P) ∧ … ∧ (A(an) ∨ P)
    ⇔ ∀ x（A(x) ∨ P ）
證實：設個體域爲： S={a1，a2，…，an}.
∃ x（A(x) → B ）
    ⇔ (A(a1) → B) ∨ … ∨ (A(an) → B)
    ⇔ (¬ A(a1) ∨ B) ∨ … ∨ (¬ A(an) ∨ B)
    ⇔ (¬ A(a1) ∨ … ∨ ¬ A(an)) ∨ B
    ⇔ ∃ x ¬ A(x) ∨ B
    ⇔ ¬ ∀x A(x) ∨ B
    ⇔ ∀ x A(x) → B

證實：設個體域爲： S={a1，a2，…，an}.
1.  ∀ x（A(x) ∧ B (x) ）
    ⇔ (A(a1)∧B (a1) ) ∧ … ∧ (A(an)∧B (an) )
    ⇔ (A(a1)∧ … ∧A(an)) ∧ (B(a1)∧ … ∧B(an))
    ⇔ ∀ x A(x) ∧ ∀ x B (x)

下面列出對應的表達式能夠看出其不一樣處：
    設 x 的個體域爲： {a1, a2, …, an} ，
         y 的個體域爲： {b1, b2, …, bn} ，
    則：
(1)   ∀x ∃y P(x , y)
⇔ ∃y P(a1 , y) ∧ … ∧ ∃y P(an , y)
⇔ （P(a1 , b1) ∨ … ∨ P(a1 , bn) ）∧ … ∧（P(an , b1) ∨ … ∨ P(an , bn) ）
(2)   ∃y ∀x P(x , y)
⇔ ∀x P(x , b1) ∨ … ∨ ∀x P(x , bn)
⇔ （P(a1 , b1) ∧ … ∧ P(an , b1) ） ∨ … ∨ （P(a1 , bn) ∧ … ∧ P(an , bn) ）

例如：x , y的個體域{鞋子}，
    P(x , y) ：x 和 y 配成一雙鞋子。
則
∀x ∃y P(x , y) ⇔ T
∃y ∀x P(x , y) ⇔ F
例如：x , y 的個體域爲 N={0,1,2…}，則
∀x ∀y P(x , y)
⇔ ∀y P(0, y) ∧∀y P(1, y) ∧∀y P(2, y) ∧ …
⇔ （P(0, 0) ∧P(0, 1) ∧ … ∧ P(0, j) ∧ …）
     ∧… ∧
     （P(i, 0) ∧P(i, 1) ∧ … ∧ P(i , j) ∧ …）
     ∧…
⇔ （P(0, 0) ∧P(1, 0) ∧ … ∧ P(i , 0) ∧ …）
     （P(0, 1) ∧P(1, 1) ∧ … ∧ P(i , 1) ∧ …）
     ∧…
⇔ ∀x P(x, 0) ∧∀ x P(x, 1) ∧ … ∧ ∀ x P(x, j) ∧ …
⇔∀y ∀x P(x , y)
一樣： ∃ x ∃ y P(x , y) ⇔∃ y ∃x P(x , y)

例如     ¬ ∀ x ∃ y ∀ z P(x , y , z)
    ⇔ ∃ x ¬ ∃ y∀ z P(x , y , z)
    ⇔ ∃ x ∀ y ¬ ∀ z P(x , y , z)
    ⇔ ∃ x∀ y ∃ z ¬ P(x , y , z)

4.3前束範式

4.3.1定義

定義：一個公式，若是量詞均非否認地在全式的開頭，它們的做用域延伸到整個公式的末尾，則稱此公式叫前束範式

例如： ∀x ∃ y ∀z (¬ Q(x , y) ∨ R(z))
(前束範式)
定理：任何一個謂詞公式均和一個前束範式等價。

證實:
  ①利用量詞轉換把 ¬ 深刻到原子謂詞公式前;
  ②利用約束變元的更名規則;
  ③利用量詞轄域的擴張收縮律,把量詞移到全式的最前面，這樣必定可獲得等價的前束範式。

 

 

5謂詞演算的推理規則

5.1 含有量詞的特殊永真式

設A(x)是一個謂詞公式，x 是其中的自由變元，

若把 y 代入到A(x)裏而不會產生變元新的約束出現，則稱A(x)對於 y 是自由的。
例如：①下面A(x)對於 y 是自由的：
A(x) ⇔ ∀z P(z) ∧ Q(x , z)，這裏 x 爲自由變元，若用 y 去取代A(x)中的x，
A(y) ⇔ ∀z P(z) ∧ Q(y , z)，這裏 y 也爲自由變元.
例如：②下面A(x)對於 y 不是自由的：
A(x) ⇔ ∀y （S(x) → S(y)），這裏 x 爲自由變元，若用 y 去取代A(x)中的x，
A(y) ⇔ ∀y （S(y) → S(y)），這裏 y 變爲約束變元了，產生了新的約束出現.
若是必需要代入 y，則應先將A(x)中的約束變元 y 更名，即
A(x) ⇔ ∀z （S(x) → S(z)），
而後用 y 去取代A(x)中的x，得
∀z （S(y) → S(z)），y 仍爲自由變元.
總結： 斷定A(x)對於 y是自由的，只要看公式A(x)中∀y ，∃ y的轄域內有沒有 x 的自由出現就行：

如有 x 的自由出現，則A(x)對於 y 不是自由的，若無 x 的自由出現，則必定能夠確定A(x)對於 y 是自由的。

5.2四個推理規則

 

 

 

5.3推理規則使用說明

5.3.1命題邏輯中

命題邏輯中的P規則，T規則，CP規則和間接證實法，均可以引用到謂詞邏輯的推理規則中來，

不過要注意對量詞作適當處理
其方法是：可用US，ES在推導中去掉量詞；可用UG，EG使結論量化。

5.3.2四個推理規則

四個推理規則的使用說明：
（1）在使用ES，US時，必定要是前束範式；
（2）推導中連續使用US規則時，可用相同變元
　　∀x P(x) ⇒ P(y)
　　∀x Q(x) ⇒ Q(y)
（3）推導中若既用ES，又用US， 則必須先用ES ，後用US，方可取相同變元，反之不行。
　　∃ x P(x) ⇒ P(y)
　　∀x Q(x) ⇒ Q(y)
（4）推導中連續使用ES規則時，使用一次更改一個變元。

例1：證實蘇格拉底三段論：「凡人都是要死的，蘇格拉底是人，因此蘇格拉底是要死的。」
證實：設 F(x)：x是人；
    G(x)：x是要死的；
    a：蘇格拉底
因而命題可化爲：

 

例2  證實 ∀x (H(x) → M(x)) ，∃x H(x) ⇒ ∃x M(x)

例3  證實 ∃x (P(x) → Q(x)) ⇒ ∀x P(x) → ∃x Q(x)

例4   證實
¬ ∀x ( P(x) ∧ Q(x) ) ，∀x P(x) ⇒ ¬ ∀x  Q(x)

例5    下列結論可否從前提中推出：
∀x ( P(x) → Q(x) ) ，¬ Q(c) ⇒ ∀x  ¬P(x)

注意：在使用US，ES，UG，EG這四條規則時，要嚴格按照它們的規定去使用。

5.3.3 二個量詞的推理

構造下面定理的證實：