歐拉函數線性求解以及莫比烏斯反演（Mobius）

時間 2020-10-03

標籤歐拉函數線性求解以及反演 mobius 欄目應用數學简体版

原文原文鏈接

前言

咕咕了很久終於來學習莫反了
~~要不是不讓在機房誰會發現數學一本通上有這麼神奇的東西~~
就是沒有性質的證實
而後花了兩節數學課證實了一遍
舒服～
前置知識：歐拉函數，二項式定理（組合數）
會歐拉函數的能夠直接看$Mobius$了函數

歐拉函數

含義

$\phi (n)$ 表示比$n$小的數中與$n$互質的數的個數學習

引理1

$n$爲質數，$\phi(n) = n - 1$
$n=a*b$ 且 $(a, b) = 1$，則$\phi(n) = \phi(a) * \phi(b)$
對於一個質數$n$的$a$次方 $\phi(n^a) = (n - 1) * p^{n-1}$

現對於第三條性質給出證實ui

比$n^a$小的數有$n^a - 1$個
其中能整除的表示爲$n* t (t = 1, 2, ... n ^{a-1}-1)$
總計有$n^{a-1}-1$個數能被整除
則與其互質的數的個數爲$\phi(p^a) = (n^a-1) - (p^{a-1}+1) = p^a - p^{a-1} = (p-1) * p^{a-1}$

引理2

對於質數$n$，惟一分解定理 $n = {p_1}^{c_1} * {p_2} ^{c_2}...{p_k}^{c_k}$
$\phi(n) = n * (1- \frac 1 {p_1}) * (1- \frac 1 {p_2}) ... (1- \frac 1 {p_k})$
若$a$與$m$互質，$a^{\phi(m)} \equiv 1 (mod \; m)$spa

線性篩

根據上述性質，推出code

若$p$爲質數，$\phi (p) = p - 1$
$if(i \% p == 0) \:\ \phi(i*p)=p*\phi(i)$
$if(i \% p \; != 0) \:\ \phi(i*p)=\phi(i)*(p -1)$

code

inline void pre(int n){
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++cnt] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++){
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0){
				phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
				break;
			}
			else phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
		}
	}
}

莫比烏斯反演（Mobius）

定義

對於非負整數集合上的兩個函數$F(n)$和$f(n)$，若知足條件$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$則
$$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac n d)$$數學

$\mu$函數

定義以下class

若$d=1$則$\mu(d)=1$
若$d=p_1p_2p_3...p_k$均爲互異質數，則$\mu(d)=(-1)^k$
其餘狀況$\mu(d)=0$

性質一

\[ \sum_{d|n}\mu(d) = \begin{cases} 1, & \text n=1 \\ 0, & \text n>1 \end{cases} \]

證實：
若$n$爲質數,顯然$sum=0$
若$n$爲合數，根據惟一分解定理im

\[n = {p_1}^{c_1} * {p_2} ^{c_2}...{p_k}^{c_k} \]

$n$的因子$d$只能是$p_1p_2,p_1p_3,p_3p_k$諸如此類
能夠發現$d$的構造來自於$k$個質因子中選取了$i$個集合

$k$爲奇數即$n$中包含奇數個質因子
從$k$中選出奇數個因子，$\mu$值爲-1，對答案貢獻爲$-\sum_{i=1}^kC_k^i(i+=2)$
從$k$中選出偶數個因子，$\mu$值爲1,對答案共享爲$\sum_{i=2}^{k-1}C_k^i(i+=2)$
兩種狀況加和化簡得$-C_k^k=-1$
$sum = -1 + \mu(1)=-1+1=0$
得證
k爲偶數即$n$中包含偶數個質因子
同理可得$sum=0$

性質二

\[ \sum_{d|n} \frac {\mu(d)} {d} = \frac {\phi(n)} {n} \]

證實：
同上將$n$質因數分解，同時將等號右側di

\[\frac {\phi(n)} n = (1- \frac 1 {p_1}) * (1- \frac 1 {p_2}) ... (1- \frac 1 {p_k}) \]

\[= \frac {(p_1-1)(p_2-1)...(p_k-1)} {p_1p_2...p_k} \]

一樣的，對$k$的奇偶性分類討論

$k$爲奇數
- 從分子中選取奇數個質因子組成相似於$p_1p_2p_3$
  因爲剩下了奇數-奇數=偶數個括號，那麼在多項式展開式中該項的常數項（不包含其餘質因子）係數必定爲$1$
  與分母約分獲得$\frac {1}{\text {偶數個質因子的積}}$
  根據$\mu$函數的性質能夠知道，該化簡式等於$\frac {\mu(\text 分母)} {\text 分母}$
- 同理，從中選取偶數個質因子獲得的化簡結果爲
  $\frac {1}{\text {奇數個質因子的積}}$
  該化簡式也等於$\frac {\mu(\text 分母)} {\text 分母}$
- 固然，分子展開式當中必包含一項$p_1p_2...p_k=\text 分母$
  約分結果顯然爲$1=\mu(1)/1$