[LuoguP1025][數據增強]數的劃分

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Solution

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題目意思很是明確了，這是一道組合數學的題目。我就直接講dp解法了。

dp

題意能夠轉化爲將 $n$個蘋果放進 $k$個盒子裏，而且不容許空盒。
設 $f[i][j]$表明將 $i$個蘋果放入 $j$個盒子中，那麼咱們用解決這類問題的經常使用方法來分析：
咱們必須先保證每一個盒子非空，所以在 $i$個蘋果中選出 $j$個放入每一個盒子。
此時咱們剩餘 $i-j$個蘋果，咱們就是要往已有的一層蘋果上加 $i-j$蘋果，求此時的方案數。
如今 $i-j$個蘋果能夠任意分配了，也就是分紅 $1$份、 $2$份、 $3$份都是合法的……
獲得轉移方程：
$dp[i][j] = \sum_{k=1}^jdp[i-j][k]$
枚舉 $i$，隨後枚舉 $j$，隨後枚舉 $k$，三層循環便可得出答案。
時間複雜度爲 $O(nk^2)$，預期得分70分。
這個或許能夠套樹狀數組優化一下求和……
那麼複雜度是 $O(nk\log k)$，然而最大的範圍 $nk$達到了 $1.2$億的大小，再加上個 $\log$鐵定超時。
而後你能夠發現：
$dp[i-1][j-1] = \sum_{k=1}^{j-1}dp[i-j][k]$
爲何會有這樣的奇特之處呢？由於 $i-j$就是 $i$和 $j$的差值，那麼同增同減一個 $1$，dp數組的一維下標是不變的，只是二維的 $k$會少一個 $dp[i-j][j]$，那麼咱們把這個加上就行了。
據此寫出轉移方程：
$dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]$
兩層循環便可轉移，複雜度就降到 $O(nk)$了，因爲常數小，能夠經過本題。
但交上去……MLE！

空間優化

空間複雜度也是 $O(nk)$的，但事實上咱們只須要用到 $O(k^2)$的內容，很容易想到滾動數組。
因而寫出：

inline int pos(const int &x)
{
	return (x % 600) + 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    dp[pos(0)][0] = 1;
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; ++i)
	{
		memset(dp[pos(i)], 0, sizeof(dp[pos(i)]));
		for (j = 1; j <= k && j <= i; ++j)
            dp[pos(i)][j] = (dp[pos(i-j)][j] + dp[pos(i-1)][j - 1]) % 10086;	
	}
    printf("%d", dp[pos(n)][k]);
    return 0;
}

我的預期是能AC了，但實際上……第15個點冷酷無情地T了。
評測機跑得不夠快

拯救TLE

吸了氧仍是不能拯救世界以後，我想起了當年用的一種奇淫技巧……
顯然此時TLE徹底是常數問題，將內層循環的兩個判斷改爲取min逆序後依然沒法經過。
常數影響最大的就是pos函數了，因而改爲了指針映射，成功AC！

指針映射

咱們考慮要如何避免pos函數的高耗時，固然想到了預處理。預處理一遍pos數組，直接訪問便可，這應該也是能卡過的(沒有嘗試)。
但還有一種更有技巧性、效率更高的方法：指針。
開一個f數組，以下：

int *f[maxn];

而後賦值：

f[i] = dp[pos(i)];

那麼訪問時，直接：

f[i][j] = ....

爲何會快？這個很顯然了吧……事實上，這種方法比：

dp[pos[i]][j] = ....

要快上很多，爲何？

由於 $f[i]$存的索引直接加上 $j$就能獲得地址，咱們實際上避免了兩個大數的乘法，而使其變成了加法。
舉例：
原先訪問方式：

dp[x∗(m+2)+y]

進行了一次乘法一次加法
解析一下就是：

return dp + (x * (m+2) + y);

而如今的訪問方式：

(f[x]+y)

解析一下就是：

return (f + x) + y;

效率提高至關顯著。
以上這段是直接copy原來那篇樹上揹包的優化中的內容……
同時注意咱們的預處理方式：

int pointer = 0;
++pointer;
if(pointer >= 600)
    pointer -= 600;

能夠避免反覆求餘的預處理效率損失。
最後第15個點跑了500ms左右……

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n, k;
int dp[610][610];
int *f[200100];
inline int min(const int &a,const int &b){return a<b?a:b;}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    int p = 0;
    for (int i = 0; i <= n; ++i)
    {
        if (p >= 600)
            p -= 600;
        f[i] = dp[p + 1];
        ++p;
    }
    f[0][0] = 1;
    int i, j;
    for (i = 1; i <= n; ++i)
    {
        memset(f[i], 0, sizeof(f[i]));
        for (j = min(k,i); j; --j)
            f[i][j] = (f[i - j][j] + f[i - 1][j - 1]) % 10086;
    }
    printf("%d", f[n][k]);
    return 0;
}