01 | 複雜度分析（上）：如何分析、統計算法的執行效率和資源消耗？

咱們都知道，數據結構和算法自己解決的是「快」和「省」的問題，即如何讓代碼運行得更快，如何讓代碼更省存儲空間。因此，執行效率是算法一個很是重要的考量指標。那如何來衡量你編寫的算法代碼的執行效率呢？這裏就要用到咱們今天要講的內容：時間、空間複雜度分析。其實，只要講到數據結構與算法，就必定離不開時間、空間複雜度分析。

 

並且，我我的認爲，複雜度分析是整個算法學習的精髓，只要掌握了它，數據結構和算法的內容基本上就掌握了一半。其實，只要講到數據結構與算法，就必定離不開時間、空間複雜度分析。

 

複雜度分析實在過重要了，所以我準備用兩節內容來說。但願你學完這個內容以後，不管在任何場景下，面對任何代碼的複雜度分析，你都能作到「庖丁解牛」般遊刃有餘。

 

爲何須要複雜度分析？

你可能會有些疑惑，我把代碼跑一遍，經過統計、監控，就能獲得算法執行的時間和佔用的內存大小。爲何還要作時間、空間複雜度分析呢？這種分析方法能比我實實在在跑一遍獲得的數據更準確嗎？

 

首先，我能夠確定地說，你這種評估算法執行效率的方法是正確的。不少數據結構和算法書籍還給這種方法起了一個名字，叫過後統計法。可是，這種統計方法有很是大的侷限性。

 

1. 測試結果很是依賴測試環境

測試環境中硬件的不一樣會對測試結果有很大的影響。好比，咱們拿一樣一段代碼，分別用Intel Core i9 處理器和 Intel Core i3 處理器來運行，不用說，i9 處理器要比 i3 處理器執行的速度快不少。還有，好比本來在這臺機器上 a 代碼執行的速度比 b 代碼要快，等咱們換到另外一臺機器上時，可能會有截然相反的結果。

2.測試結果受數據規模的影響很大

後面咱們會講排序算法，咱們先拿它舉個例子。對同一個排序算法，待排序數據的有序度不同，排序的執行時間就會有很大的差異。極端狀況下，若是數據已是有序的，那排序算法不須要作任何操做，執行時間就會很是短。除此以外，若是測試數據規模過小，測試結果可能沒法真實地反應算法的性能。好比，對於小規模的數據排序，插入排序可能反倒會比快速排序要快！

 

因此，咱們須要一個不用具體的測試數據來測試，就能夠粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是咱們今天要講的時間、空間複雜度分析方法。因此，咱們須要一個不用具體的測試數據來測試，就能夠粗略地估計算法的執行效率的方法。這就是咱們今天要講的時間、空間複雜度分析方法。

大 O 複雜度表示法

算法的執行效率，粗略地講，就是算法代碼執行的時間。可是，如何在不運行代碼的狀況下，用「肉眼」獲得一段代碼的執行時間呢？

這裏有段很是簡單的代碼，求1,2,3…n+的累加和。如今，我就帶你一塊來估算一下這段代碼的執行時間。

1 int cal(int n) {
2   int sum = 0;
3   int i = 1;
4   for (; i <= n; ++i) {
5     sum = sum + i;
6   }
7   return sum;
8 }

從+CPU+的角度來看，這段代碼的每一行都執行着相似的操做：讀數據-運算-寫數據。儘管每行代碼對應的+CPU+執行的個數、執行的時間都不同，可是，咱們這裏只是粗略估計，因此能夠假設每行代碼執行的時間都同樣，爲+unit_time。在這個假設的基礎之上，這段代碼的總執行時間是多少呢

 

第二、3行代碼分別須要1個unit_time的執行時間，第四、5行都運行了n遍，因此須要2n*unit_time的執行時間，因此這段代碼總的執行時間就是(2n+2)*unit_time。能夠看出來，全部代碼的執行時間T(n)與每行代碼的執行次數成正比。

 

按照這個分析思路，咱們再來看這段代碼。

1 int cal(int n) {
2   int sum = 0;
3   int i = 1;
4   int j = 1;
5   for (; i <= n; ++i) {
6     j = 1;
7     for (; j <= n; ++j) {
8       sum = sum +  i * j;
9     }
10   }
11 }

 

咱們依舊假設每一個語句的執行時間是unit_time。那這段代碼的總執行時間+T(n)+是多少呢？&oq=咱們依舊假設每一個語句的執行時間是unit_time。那這段代碼的總執行時間T(n)是多少呢？　　

 

第二、三、4行代碼，每行都須要1個unit_time的執行時間，第五、6行代碼循環執行了n遍，須要2n*unit_time的執行時間，第七、8行代碼循環執行了n2遍，因此須要2n2*unit_time的執行時間。因此，整段代碼總的執行時間T(n)=(2n2+2n+3)*unit_time。

 

儘管咱們不知道unit_time的具體值，可是經過這兩段代碼執行時間的推導過程，咱們能夠獲得一個很是重要的規律，那就是，全部代碼的執行時間T(n)與每行代碼的執行次數n成正比。

 

咱們能夠把這個規律總結成一個公式。注意，大O就要登場了！

 

 

我來具體解釋一下這個公式。其中，T(n)咱們已經講過了，它表示代碼執行的時間；n表示數據規模的大小；f(n)表示每行代碼執行的次數總和。由於這是一個公式，因此用f(n)來表示。公式中的O，表示代碼的執行時間T(n)與f(n)表達式成正比。

 

因此，第一個例子中的T(n)=O(2n+2)，第二個例子中的T(n)+=O(2n2+2n+3)。這就是大O時間複雜度表示法。大O時間複雜度實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增加的變化趨勢，因此，也叫做漸進時間複雜度（asymptotic+time+complexity），簡稱時間複雜度。

 

當n很大時，你能夠把它想象成10000、100000。而公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增加趨勢，因此均可以忽略。咱們只須要記錄一個最大量級就能夠了，若是用大O表示法表示剛講的那兩段代碼的時間複雜度，就能夠記爲：T(n)=O(n)；T(n)=O(n2)。

 

時間複雜度分析

前面介紹了大O時間複雜度的由來和表示方法。如今咱們來看下，如何分析一段代碼的時間複雜度？我這兒有三個比較實用的方法能夠分享給你。

 

1.只關注循環執行次數最多的一段代碼

我剛纔說了，大O這種複雜度表示方法只是表示一種變化趨勢。咱們一般會忽略掉公式中的常量、低階、係數，只須要記錄一個最大階的量級就能夠了。因此，咱們在分析一個算法、一段代碼的時間複雜度的時候，也只關注循環執行次數最多的那一段代碼就能夠了。這段核心代碼執行次數的n的量級，就是整段要分析代碼的時間複雜度。

爲了便於你理解，我還拿前面的例子來講明。

 

1 int cal(int n) {
2   int sum = 0;
3   int i = 1;
4   for (; i <= n; ++i) {
5     sum = sum + i;
6   }
7   return sum;
8 }

　　

其中第+二、3+行代碼都是常量級的執行時間，與+n+的大小無關，因此對於複雜度並無影響。循環執行次數最多的是第+四、5+行代碼，因此這塊代碼要重點分析。前面咱們也講過，這兩行代碼被執行了+n+次，因此總的時間複雜度就是+O(n)。

 

2.加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度

 

我這裏還有一段代碼。你能夠先試着分析一下，而後再往下看跟個人分析思路是否同樣。 

 

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }
 
   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }
 
   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

　　

這個代碼分爲三部分，分別是求sum_一、sum_二、sum_3。咱們能夠分別分析每一部分的時間複雜度，而後把它們放到一起，再取一個量級最大的做爲整段代碼的複雜度。

 

第一段的時間複雜度是多少呢？這段代碼循環執行了100次，因此是一個常量的執行時間，跟n的規模無關。

 

這裏我要再強調一下，即使這段代碼循環10000次、100000次，只要是一個已知的數，跟n無關，照樣也是常量級的執行時間。當n無限大的時候，就能夠忽略。儘管對代碼的執行時間會有很大影響，可是回到時間複雜度的概念來講，它表示的是一個算法執行效率與數據規模增加的變化趨勢，因此無論常量的執行時間多大，咱們均可以忽略掉。由於它自己對增加趨勢並無影響。

 

那第二段代碼和第三段代碼的時間複雜度是多少呢？答案是O(n)和O(n2)，你應該能容易就分析出來，我就不囉嗦了。

 

綜合這三段代碼的時間複雜度，咱們取其中最大的量級。因此，整段代碼的時間複雜度就爲O(n2)。也就是說：總的時間複雜度就等於量級最大的那段代碼的時間複雜度。那咱們將這個規律抽象成公式就是：

 

若是T1(n)=O(f(n))，T2=O(g(n))；那麼T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n))，O(g(n)))=O(max(f(n)，g(n)))

 

3.乘法法則：嵌套代碼的複雜度等於嵌套內外代碼複雜度的乘積

 

我剛講了一個複雜度分析中的加法法則，這兒還有一個乘法法則。類比一下，你應該能「猜到」公式是什麼樣子的吧？

 

若是T1=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那麼T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n)).

 

也就是說，假設T1(n)=O(n)，T2(n)+=O(n2)，則T1(n)*T2(n)=O(n3)。落實到具體的代碼上，咱們能夠把乘法法則當作是嵌套循環，我舉個例子給你解釋一下。

 

1int cal(int n) {
2   int ret = 0; 
3   int i = 1;
4   for (; i < n; ++i) {
5     ret = ret + f(i);
6   } 
7 } 
8 
9 int f(int n) {
10  int sum = 0;
11  int i = 1;
12  for (; i < n; ++i) {
13    sum = sum + i;
14  } 
15  return sum;
16 }

　　

咱們單獨看cal()函數。假設f()只是一個普通的操做，那第4～6行的時間複雜度就是，T1(n)=O(n)。但+f()+函數自己不是一個簡單的操做，它的時間複雜度是T2(n)=O(n)，因此，整個cal()函數的時間複雜度就是，T(n)=T1(n)*T2(n)=O(n*n)=O(n2)。

 

我剛剛講了三種複雜度的分析技巧。不過，你並不用刻意去記憶。實際上，複雜度分析這個東西關鍵在於「熟練」。你只要多看案例，多分析，就能作到「無招勝有招」。

 

幾種常見時間複雜度實例分析

 

雖然代碼千差萬別，可是常見的複雜度量級並很少。我稍微總結了一下，這些複雜度量級幾乎涵蓋了你從此能夠接觸的全部代碼的複雜度量級。

 

 

對於剛羅列的複雜度量級，咱們能夠粗略地分爲兩類，多項式量級和非多項式量級。其中，非多項式量級只有兩個：O(2n)和O(n!)。

 

咱們把時間複雜度爲非多項式量級的算法問題叫做NP（Non-Deterministic+Polynomial，非肯定多項式）問題。

 

當數據規模n愈來愈大時，非多項式量級算法的執行時間會急劇增長，求解問題的執行時間會無限增加。因此，非多項式時間複雜度的算法實際上是很是低效的算法。所以，關於NP時間複雜度我就不展開講了。咱們主要來看幾種常見的多項式時間複雜度。

 

1.O(1)

首先你必須明確一個概念，O(1)只是常量級時間複雜度的一種表示方法，並非指只執行了一行代碼。好比這段代碼，即使有3行，它的時間複雜度也是O(1），而不是O(3)。

 

1 int i = 8;
2 int j = 6;
3 int sum = i + j;

　　

我稍微總結一下，只要代碼的執行時間不隨n的增大而增加，這樣代碼的時間複雜度咱們都記做O(1)。或者說，通常狀況下，只要算法中不存在循環語句、遞歸語句，即便有成千上萬行的代碼，其時間複雜度也是Ο(1)。

 

2.O(logn)、O(nlogn)

對數階時間複雜度很是常見，同時也是最難分析的一種時間複雜度。我經過一個例子來講明一下。 

 

1 i=1;
2 while (i <= n)  {
3   i = i * 2;
4 }

　　

根據咱們前面講的複雜度分析方法，第三行代碼是循環執行次數最多的。因此，咱們只要能計算出這行代碼被執行了多少次，就能知道整段代碼的時間複雜度。

 

從代碼中能夠看出，變量i的值從1開始取，每循環一次就乘以2。當大於n時，循環結束。還記得咱們高中學過的等比數列嗎？實際上，變量i的取值就是一個等比數列。若是我把它一個一個列出來，就應該是這個樣子的：

 

 

因此，咱們只要知道x值是多少，就知道這行代碼執行的次數了。經過2x=n求解x這個問題咱們想高中應該就學過了，我就很少說了。x=log2n，因此，這段代碼的時間複雜度就是O(log2n)。

 

如今，我把代碼稍微改下，你再看看，這段代碼的時間複雜度是多少？ 

 

 

1 i=1;
2 while (i <= n)  {
3   i = i * 3;
4 }

　　

根據我剛剛講的思路，很簡單就能看出來，這段代碼的時間複雜度爲O(log3n)。實際上，無論是以2爲底、以3爲底，仍是以10爲底，咱們能夠把全部對數階的時間複雜度都記爲O(logn)。爲何呢？

 

 

若是你理解了我前面講的O(logn)，那O(nlogn)就很容易理解了。還記得咱們剛講的乘法法則嗎？若是一段代碼的時間複雜度是O(logn)，咱們循環執行n遍，時間複雜度就是O(nlogn)了。並且，O(nlogn)也是一種很是常見的算法時間複雜度。好比，歸併排序、快速排序的時間複雜度都是O(nlogn)。 

 

 3.O(m+n)、O(m*n)

 

 咱們再來說一種跟前面都不同的時間複雜度，代碼的複雜度由兩個數據的規模來決定。老規矩，先看代碼！

 

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

　　

從代碼中能夠看出，m和n是表示兩個數據規模。咱們沒法事先評估m和n誰的量級大，因此咱們在表示複雜度的時候，就不能簡單地利用加法法則，省略掉其中一個。因此，上面代碼的時間複雜度就是O(m+n)。

 

針對這種狀況，原來的加法法則就不正確了，咱們須要將加法規則改成：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。可是乘法法則繼續有效：T1(m) * T2(n) = O(f(m) * f(n))。

 

空間複雜度分析

 

前面，我們花了很長時間講大O表示法和時間複雜度分析，理解了前面講的內容，空間複雜度分析方法學起來就很是簡單了。

 

前面我講過，時間複雜度的全稱是漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增加關係。類比一下，空間複雜度全稱就是漸進空間複雜度（asymptotic+space+complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增加關係。

 

我仍是拿具體的例子來給你說明。（這段代碼有點「傻」，通常沒人會這麼寫，我這麼寫只是爲了方便給你解釋。）

 

1void print(int n) {
2  int i = 0;
3  int[] a = new int[n];
4  for (i; i <n; ++i) {
5    a[i] = i * i;
6  }

7  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
8    print out a[i]
9  }
10}

　　

跟時間複雜度分析同樣，咱們能夠看到，第2行代碼中，咱們申請了一個空間存儲變量i，可是它是常量階的，跟數據規模n沒有關係，因此咱們能夠忽略。第3行申請了一個大小爲n的int類型數組，除此以外，剩下的代碼都沒有佔用更多的空間，因此整段代碼的空間複雜度就是O(n)。咱們常見的空間複雜度就是O(1)、O(n)、O(n2)，像O(logn)、O(nlogn)這樣的對數階複雜度平時都用不到。並且，空間複雜度分析比時間複雜度分析要簡單不少。因此，對於空間複雜度，掌握剛我說的這些內容已經足夠了。

 

內容小結

 

基礎複雜度分析的知識到此就講完了，咱們來總結一下。複雜度也叫漸進複雜度，包括時間複雜度和空間複雜度，用來分析算法執行效率與數據規模之間的增加關係，能夠粗略地表示，越高階複雜度的算法，執行效率越低。常見的複雜度並很少，從低階到高階有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2)。你就會發現幾乎全部的數據結構和算法的複雜度都跑不出這幾個。