Levenshtein距離

　　Levenshtein Distance，又稱Edit Distance，在天然語言處理中有着普遍的應用。Levenshtein  Distance 指的是兩個字符串之間，由一個轉換成另外一個所需的最少編輯操做次數。編輯操做包括：1）刪除一個字符；2）插入一個字符；3）替換一個字符

　　Example:

　　兩個字符串a = "kitten", b = "ssitting"，編輯過程以下：

• kitten → sitten (substitution of "s" for "k")
• sitten → sittin (substitution of "i" for "e")
• sittin → sitting (insertion of "g" at the end).

　　所以，a與b之間的編輯距離等於3。

　　解決方案：動態規劃

　　1）描述最優解結構，尋找最優子結構

　　a = {x₁, x₂..x_i}與字符串b = {y₁, y₂...y_j}之間的最小編輯次數lev_a,b(i, j)。

• 　若是x_i = y_j，lev_a,b(i, j) = lev_a,b(i-1, j-1)
• 　若是x_i ≠ y_j，lev_a,b(i, j)將是如下三種狀況中，編輯次數最少的一個

           　　(1) 替換x_i ，讓x_i 替換y_j，編輯距離lev_a,b(i, j) =  lev_a,b(i-1, j-1) + 1

　　　　　　(2) 在a中的第i個位置，插入新字符x讓字符x = y_j，lev_a,b(i, j) =  lev_a,b(i, j-1) + 1

　　　　　　(3) 在a中的第i個位置， 刪除入字符x_i ，lev_a,b(i, j) =  lev_a,b(i-1, j) + 1

　　2）遞歸定義最優解

　　有了上面的分析，遞歸表達式能夠容易的推導出來：

　　

　　3）自底向上的實現

　　

#include <iostream>

using namespace std;

/************************************************************************/
/*
 *  a: 源字符串
 *  b: 目的字符串
 *  m: 源字符串長度
 *  n: 目的字符串的長度
/************************************************************************/
int lev_distance(const char* a, const char* b, int m, int n)
{
    int* pre_col = new int[n+1];
    int* cur_col = new int[n+1];

    for (int i = 0; i != n+1; i++)
    {
        pre_col[i] = i;
    }

    for (int i = 0; i != m; i++)
    {
        cur_col[0] = i + 1;
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            cur_col[j+1] = min(min(1 + cur_col[j], 1 + pre_col[j+1]),
                                        pre_col[j] + (a[i] == b[j] ? 0 : 1));
        }
        swap(pre_col, cur_col);
    }

    return pre_col[n];
}

int main()
{
    char a[] = "kitten";
    char b[] = "sitting";

    int dist = lev_distance(a, b, sizeof(a)-1, sizeof(b)-1);

    cout<<"levenshtein distance:"<<dist<<endl;

    system("pause");
    return 0;
}

　　正常的動態規劃算法須要記錄表格大小是len(a) * len(b)，當字符串長度較長的狀況下，將須要很大的存儲空間，上面的算法針對這種狀況作了一個小的改進：lev(i, j)僅依賴於表格中的三個位置，左邊，上方，左上方，所以只要保留當前列與左邊一列就能夠求出lev(i, j)的值了。