一個想法

下課無聊的時候想了一會，而後發現了一點東西。

 

$$n = \prod_{i = 1} ^ m p_i ^ {a_i}$$

$$f(n) = \sum_{i = 1} ^ m a_i$$

給定 $n < 998244353$ ，求 $1$ 到 $n$ 中有多少個數字，知足 $f(i)$ 爲偶數。

 

設有 $x$ 個奇數，$y$ 個偶數，顯然 $x + y = n$ ，若是再可以構造一個 $x, y$ 的線性組合，並可以方便地計算出其取值，那麼就可以解決問題了。

剛好我學習杜教篩的時候知道有這樣一個函數：

$$\lambda(n) = (-1) ^ {\sum_{i = 1} ^ m a_I}$$

考慮 $T = \sum_{i = 1} ^ n \lambda(i)$ 的意義，就是 $1$ 到 $n$ 中，偶數個數減去奇數個數，即 $T = y - x$ 。

至於 $T$ 怎麼用杜教篩計算，利用性質

$$(\lambda \times I)(n) = [n \text{徹底平方數}]$$

便可。

 

這道題看起來很巧妙，可是是否真的是這麼巧妙？

這道題引發了個人一個思考：能不能對於某個給定的 $k$ ，求出分別有多少個數知足 $f(i) \bmod k = 0, 1, 2, ..., k - 1$ 。

 

我是從類比入手的。

設出 $x_0, x_1, ..., x_{k - 1}$ ，而後構建它們之間的 $k$ 個線性無關的線性組合，並可以方便地計算出這些線性組合的值。

觀察到本來 $k = 2$ ，一個式子是 $1 x + 1 y$ ，一個式子是 $1 x - 1 y$ ，而 $1$ 和 $-1$ 都是 $2$ 次單位負根，因而我就猜測，第 $i$ 個式子爲：

$$(w_k ^ 0) ^ i x_0 + (w_k ^ 1) ^ i x_1 + ... + (w_k ^ {k - 1}) ^ i x_{k - 1} = ?$$

能夠看做 $x_j$ 中的項貢獻 $(w_k ^ j) ^ i$ ，從新寫做

$$(w_k ^ 0) ^ i x_0 + (w_k ^ 1) ^ i x_1 + ... + (w_k ^ {k - 1}) ^ i x_{k - 1} = \sum_{j = 1} ^ n \lambda_i(j)$$

$$\lambda_i(n) = (w_k ^ i) ^ {(f(n) \bmod k)} = w_k ^ {i f(n)}$$

發現

$$\lambda_i(p ^ q) = w_k ^ i q$$

$$\lambda_i(p) = w_k ^ i$$

$$\lambda_i(p ^ a q ^ b) = w_k ^ i (a + b) = \lambda_i(p ^ a) \lambda(q ^ b)$$

萬事俱備了，$p ^ q$ 知道，$p$ 知道，並且是積性函數，因此直接 min_25 篩。

總結一下，構造了 $k$ 個式子 $(w_k ^ 0) ^ i x_0 + ... + (w_k ^ {k - 1}) ^ i x_{k - 1} = \sum_{j = 1} ^ n \lambda_i (j)$ ，而後能夠獲得 $\lambda_i(j)$ 的積性，而後 min_25 篩，而後 IDFT 。

 

其實根本沒這麼麻煩，直接考慮 $k$ 次循環多項式，證實一下積性，直接帶着數組去 min_25 篩。一個不從類比入手的人應該很容易想到這一點。

而我作的工做，只是先進行了一次 DFT ，用 min_25 篩求出了 DFT 的值，而後再 IDFT 。

總之仍是本身太傻逼了。

 

退役了真不高興。假如拿好那 68 分的 day1t3 該多好。