一些奇怪的東西堆在一塊兒

一、若是$gcd(i,j)==1$，且$i+j==k$，那麼這樣的數對數就是$\phi(k)$。

也就是$gcd(i,j)==1$導出$gcd(i,k-i)==1$，進而$gcd(i,k)==1$，從而轉化爲$euler$。

 

二、https://www.cnblogs.com/henry-1202/p/10246196.html

三、https://www.cnblogs.com/Mychael/p/8759124.html

四、https://www.cnblogs.com/remarkable/p/11364178.html

二、三、4是關於$euler$和迪利克雷的一些東西。

 

五、$\phi(n)==n*\prod\limits_{i=1}^{k} \left (  \frac{p_i-1}{p_i} \right )$，其中$p_i$表示在惟一分解下的全部質因。

$1\rightarrow n$中$p_1$的倍數有$\frac{n}{p_1}$個，咱們將它減去，$p_2$的倍數有$\frac{n}{p_2}$個，咱們將其減去，咱們把$p_1$和$p_2$的公倍數減掉了2次，加回$\frac{n}{p_1p_2}$，而後獲得式子$n*(1-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_1p_2})$，即$n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$，對全部質因子數學概括，獲得上述結論。

 

六、$\phi$是積性函數。

$gcd(n,m)==1$時，$n$$m$沒有相同的$p$，直接帶入5的式子，而後發現沒有同樣的質因，那麼$\phi(n)\phi(m)==\phi(nm)$了。

七、$\phi(p)==p-1$。

$1\rightarrow p-1$中全部數都和$p$互質。

八、$\phi(np)==\phi(n)p$，$p|n$。

有上述條件，$np$和$n$除了質因$p$的指數不同，沒有什麼區別，帶入5，能夠上下約分，獲得$p$，即$\frac{\phi(np)}{\phi(n)}==\frac{np\prod (1-\frac{1}{p_i})}{n\prod(1-\frac{1}{p_i})}==p$。

六、七、8共同支撐着$euler$的線性篩。

 

九、http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php

 

十、$\sum\limits_{i=1}^{n-1}[ n|i^2 ]==\frac{n}{\prod p_i^{\lceil \frac{c_i}{2} \rceil}}==\prod p_i^{\lfloor \frac{c_i}{2} \rfloor}==\sum\limits_{d^2|n}\phi(d)$。

 

 十一、$n$爲奇數時，$\phi(2n)==\phi(n)$。

積性，$\phi(2n)==\phi(2)\phi(n)==\phi(n)$。這個東西有時候能夠保證複雜度爲$log$。

 

十二、$p$爲質數，$\phi(p^k)==p^k-p^{k-1}$。

帶入計算式可得。

 

1三、$1\rightarrow n$中與$n$互質的數的和爲$\frac{n\phi(n)}{2}$。

根據更相減損，與$n$互質的數成對出現，共$\frac{\phi(n)}{2}$對，每對的和爲$n$。可得。

那麼其實$\phi(n)$是偶數也是這個意思來的。

 

1四、$\sum\limits_{d|n}\phi(d)==n$。即$\phi *1==Id$。

設$f(n)==\sum\limits_{d|n}\phi(d)$，那麼\begin{aligned} &f(n)*f(m)\\ &=\sum_{i|n}\phi(i)*\sum_{j|m}\phi(j)\\ &=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\phi(i)*\phi(j)\\ &=\sum_{i|n}\sum_{j|m}\phi(i*j)\\ &=\sum_{d|nm}\phi(d)\\ &=f(nm) \end{aligned}

故$f(n)$積性。

$f(p^k)==\phi(1)+\phi(p)+\phi(p^2)+……+\phi(p^k)==1+p-1+p^2-p+……+p^k-p^{k-1}==p^k$。

$f(n)==f(\prod p_i^{c_i})==\prod f(p_i^{c_i})==\prod p_i^{c_i}==n$。 得證。

 

1五、$\sum\limits_{d|n}\mu(d)==[n==1]$，即$\mu*1==\epsilon $。

好證，有點長，不想寫了。分紅$n==1$，$n$爲質數，$n$爲合數討論，前兩個直接算顯然，後者先除去$\mu(d)==0$的狀況，而後用二項式定理$(1-1)^n$便可。

 

1六、$\phi(n)==\sum\limits_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}$，即$\frac{\phi(n)}{n}==\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}$  ，也即$\phi=\mu*Id$。

\begin{aligned}&\phi*1=Id \\&\phi*1*\mu=Id*\mu \\&\phi*\epsilon=\mu*Id \end{aligned}

得證。

 

1七、一個隨機排列中比前面全部數都大的數的數量指望爲log

 

1八、考試密碼是考試分加www或mmm，隨心情而定（主要是困不困）。

 

1九、一個數在質因分解下2的冪數，等於其在二進制下末尾0的個數。

 

20、一張簡單無向圖全部點的度數不可能兩兩互不相同。

 

2一、森林結構的聯通塊個數等於（點數-邊數）。

 

2二、https://images2017.cnblogs.com/blog/1189392/201709/1189392-20170901143915108-1970936753.png

逛博客看到的圖。

 

2三、$\sum\limits_{i=1}^{n}[\mu(i)==0]$==$n-\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(i)^2$==$\sum\limits_{i=1}^{\sqrt{n}}\mu(i)\frac{n}{i^2}$。

前兩個顯然，後面的考慮容斥，而後就能夠杜教篩了。

 

2四、對於一個只有Dsu合併過程的初始全1數列，集合大小的種類最多隻有$\sqrt{n}$級別。

最壞狀況是一、二、三、四、五、6……，根據等差數列求和，最多隻有$\sqrt{n}$。

 

2五、$\sum\limits_{i=0}^{n}(C_{n}^{i})^2$==$C_{2n}^{n}$

根據範德蒙恆等顯然（雖然我一直覺得這是個人兩棵棗樹理論）。

 

2六、碰到比較$\prod X$,$\prod Y$的東西，能夠取$log$，變成比較$\sum logX$和$\sum logY$。顯而後者規模很小。

 

2七、http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php

在線Latex好啊。