插值與擬合

1.插值　　-->求過已知有限個數據點的近似函數

　　1）拉格朗日多項式插值　　　　-->n個插值點不一樣時肯定了一個惟一的n次多項式

　　　　構造n次拉格朗日插值多項式（不使用解方程n個約束來求解待定係數）

　　2）牛頓插值

　　　　使用差商概念來構造牛頓插值公式（計算量小，餘項與拉格朗日餘項相等），當節點之差爲常數時，使用差分來代替差商構造牛頓向前插值公式

　　3）分段線性插值　　　　-->高次插值存在震盪缺陷，採用低次分段函數（線性函數）

　　　　y=interp1(x0,y0,x,'method')　　-->method可取nearest（最近項插值）、linear(線性)、spline（逐段三次樣條插值）、cublic（保凹凸性3次插值）

　　4）Hermite插值　　　　-->插值函數不只要求節點處與函數同值，同時要有相同一階、二階導數

　　5）樣條插值　　　　-->對插值函數的光滑性要求較高（樣條函數代替線性函數，通常採用二次、三次樣條插值）

　　　　a.二次樣條插值函數

　　　　　　兩類問題：已知函數值與邊界處導數值；已知節點導數值及邊界點函數值

　　　　b.三次樣條插值函數

　　　　　　三類問題：已知端點一階導（完備三次樣條插值函數）；端點二階導已知；兩端點一二階導相等　　-->知足n+3個約束條件

　　　　　　pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)　　-->conds指定插值的邊界條件：complete,not-a-knot(非扭結條件）、second、periodic、variational（設置邊界的二階導數值爲0,0）

clc,clear
x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15];
y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6];
x=0:0.1:15;
y1=lagrange(x0,y0,x);
y2=interp1(x0,y0,x);
y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
pp1=csape(x0,y0);
y4=ppval(pp1,x);
pp2=csape(x0,y0,'second');
y5=ppval(pp2,x);
fprintf('比較一下不一樣茶之方法和邊界條件的結果：\n')
fprintf('x     y1     y2     y3      y4      y5\n')
xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
subplot(2,2,1),plot(x0,y0,'+',x,y1),title('Lagrange')
subplot(2,2,2),plot(x0,y0,'+',x,y2),title('Peicewise linear')
subplot(2,2,3),plot(x0,y0,'+',x,y3),title('Spline1')
subplot(2,2,4),plot(x0,y0,'+',x,y4),title('Spline2')
dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))
ytemp=y3(131:151);
index=find(ytemp==min(ytemp));
xymin=[x(130+index),ytemp(index)]
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end

　　　　c.B樣條函數插值方法　　　　-->對函數進行磨光處理（積分）構造出樣條函數做爲插值函數，既有較好的凹凸性，又有足夠的光滑性

　　6)二維插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')　　　　pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})　　　　散亂節點（非有序）　　zi=griddata(x,y,z,xi,yi)

2.擬合　　-->求近似函數，某種意義下這些點上總誤差最小

　　1)線性最小二乘法　　　　-->將函數f(x)看爲一系列線性無關的函數與待定係數的乘積之和

　　　　R爲線性無關函數陣列，A爲待定係數向量，Y爲節點值向量，則A=(R'R)的逆*R'Y

　　　　a.函數的選取：做圖直觀的判斷，經常使用的有:直線、多項式、雙曲線、指數

clc,clear
x=[19,25,31,38,44]';
y=[19,32.3,49,73.3,97.8]';
r=[ones(5,1),x.^2];
ab=r\y
x0=19:0.1:44;
y0=ab(1)+ab(2)*x0.^2;
plot(x,y,'o',x0,y0,'r')

　　2）多項式擬合　　　　-->採用多項式擬合給定數據

　　　　a=polyfit(x0,y0,m)輸出a爲待定係數矩陣（由高次到低次排列）　　y=polyval(a,x)　　作散點圖選擇多項式的次數，

3.最小二乘優化問題　　　　-->在無約束最優化問題中，目標函數由若干個函數的平方和構成，求其極小值的問題爲最小二乘優化問題

　　1)lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

　　2)lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)

clc,clear
t=[19,25,31,38,44];
c=[19,32.3,49,73.3,97.8];
x0=[0.2,0.2];
x=lsqcurvefit(@fun,x0,t,c);
x(1),x(2)
function f=fun(x,t);
f=x(1)+x(2)*t.^2;

　　3)lsqnonlin(fun,x0,lb,ub,options)

　　4)lsqnonneg(c,d,x0,options)　　求解非負的x知足最小二乘函數

4.函數逼近　　-->給定一組離散數據選擇一個較簡單的f去接近這些數據成爲曲線擬合　　給定一個複雜連續函數選擇一個較簡單的函數f去接近它成爲函數逼近

　　最小平方逼近　　-->差值的平方的積分最小