關於雅可比行列式與積分換元

換元先後微元數目相同，而後咱們保證每一個微元的積分（就是dxdy * f(x,y) 的簡單乘積）相同那麼最後的結果一定是同樣的。

對於二元狀況的證實參考同濟高數7版 P151

A

考慮線性方程組

u=ax+by

v=cx+dy

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若是在xy平面上取 (0,0),(1,0),(0,1),(1,1)4個點構成一個變長爲1的正方形，那麼通過

[a   b

c    d] 作變換後會是一個平行四邊形。在uv平面上是 <a,b>,<c,d> 兩個向量

向量的面積  | <a,b>  x  <c,d> |  = ad-cd  這就表示變換後的面積比原面積是ad-cb/1

 

等於方程組的對應得行列式

 B

x=g(u,v) y=h(u,v) ,  x,y 與 u v不是線性的

可是作全微分後，   dx= Gu du + Gv dv ,  dy=Hu du  +Hv dv

可見微元 dxdy 與 dudv 在指定點（u0,v0)  是成線性關係的。 dxdy 、dudv 面積之比

| Gu   Gv

  Hu    Hv|  即雅可比行列式（行列式不能是0）  即 dxdy/dudv=J   因此作積分變換時 dxdy=  J * dudv

 

考慮  f(x,y) dxdy 積分變換後要保證值一致（微元數同樣），因爲被積函數同樣都是f(x,y) =f( g(u,v),h(u,v)) ,因此當 f(x,y) dxdy =  f(g(u,v),h(u,v)) * J * dudv時才能保證一致。

注意 J^-1  是  u=g(x,y)  ,v=(x,y)    即反函數表示雅克比行列式

他們互爲倒數

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C

已知道u=g(x,y) v=h(x,y)時 J=| (u,v)/(x,y)|

dudv= J dxdy

已知道聯合密度函數在區域上的積分是1

那麼變換後每一個微元 dudv都有一個正好對應的 dxdy,變換先後的密度函數在該區域上的機率取值應該相等即 

fuv(u,v) du dv= fxy(x,y) dxdy =>    fuv(u,v)=   fxy(x,y)  ( dxdy/dudv)=  fxy(x,y) J ^-1