奧賽經典（代數篇）划水記

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4月29日，1~9

　　ZJOI結束了，感受該作點數學題提神醒腦。因而挑了幾道奧賽經典上的幾題劃劃水~~

6月23日，10~12

　　Update：期末考試結束了，來填填坑~

7月20日，13~17

　　Update：暑假玩瘋了，學習一下不動點冷靜一下

7月21日，18~21

　　Update：奧經上有一些小錯誤？進行一些修正。凸函數真奇妙

7月22日，22~24

　　Update：函數方程

 

一、一個數集的和是指它的全部元素的和，令S是一些不超過15的正整數組成的集合，

S的任意兩個不相交的子集合的和不相等，而且在全部具備上述性質的集合中，S的和最大。

求集合S的和。

（第二章·習題B·1）

 

先證實集合大小不超過5，而後構造便可。答案：61

 

 

二、n是一個正整數，A是集合{1,2,...,n}的子集的一個集合，使得A內無元素包含A的其餘元素。

求A的所有元素的個數的最大值。

（第二章·習題B·3）

 

個人大體想法是，對於A內子集，若是最小的大小爲k，且k<[n/2]，

咱們把全部包含這些子集的大小爲k+1的子集去替換這些大小爲k的子集，這樣A依然合法，而且容易證實元素個數不會減小。

　　（大體證實：S1爲大小爲k的子集的集合，設S2爲大小爲k+1的子集的包含這些子集的集合。

　　S1內任意元素對應S2中(n-k)個元素，S2中任意元素最多對應S1中(k+1)個元素。

　　由於n-k>=k+1，又由於對應關係是互相的，因此S2元素個數>=S1元素個數）

對於A內子集，若是最大的大小爲k，且k>[n/2]，

咱們把全部被這些子集包含的大小爲k-1的子集去替換這些大小爲k的子集，這樣A依然合法，同理容易證實元素個數不會減小。

因而，當A內子集大小都爲[n/2]時，A的所有元素個數最大。

此時元素個數爲C(n,[n/2])。

 

題解作法比較有趣，對於1到n的全排列，種數爲n!個。設A中有fk個k元子集做爲元素。|A|=f1+f2+...+fn

當fk>0，對於fk個k元子集中任意一個子集{a1,a2,...,ak}，取出前k個元素剛好構成子集{a1,a2,...,ak}的全排列，共有k!(n-k)!個。

因爲A中兩兩元素不包含。所以對於A中全部元素用上述方法取出的全排列必然兩兩不一樣。

因此，

當A取{1,2,...,n}中所有[n/2]元子集組成的集合時，恰達到|A|=C(n,[n/2])

 

 

三、n是不小於3的正整數，f(n)表示不是n的因數的最小正整數（例如f(12)=5）。

若是f(n)≥3，又可做f(f(n))，相似的，若是f(f(n))≥3，又可做f[f(f(n))]等等。

若是f(f(···f(n)···))=2 （前面有k次f），就把k叫作n的長度。

若是用Ln表示n的長度，試對任意正整數n(n≥3)，求Ln，並證實你的結論。

（第三章·習題B·2）

 

顯然，當n是奇數時Ln=1。

當n爲偶數時，設n=2^k * (2m+1) （k是正整數，m是非負整數）

若 1,2,...,2^(k+1)-1 都是n的約數，那麼顯然f(n)=2^(k+1)，Ln=3。

其餘狀況下，f(n)必定是個奇數，故Ln=2。

 

 

四、函數f(x,y)對全部的非負整數x,y知足：

　　1.f(0,y)=y+1

　　2.f(x+1,0)=f(x,1)

　　3.f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)]

　　試肯定f(4,1981)

（第三章·習題B·4）

 

f(0,n)=n+1

f(1,0)=2，f(1,n) = f(0,f(1,n-1)) = f(1,n-1) +1，故 f(1,n)=n+2

f(2,0)=3，f(2,n) = f(1,f(2,n-1)) = f(2,n-1) +2，故 f(2,n)=2n+3

f(3,0)=5，f(3,n) = f(2,f(3,n-1)) = 2*f(3,n-1)+3，故 f(3,n) = 2^n *8-3

f(4,0)=13，f(4,n) = f(3,f(4,n-1)) = 2^f(4,n-1) *8 - 3。設g(n) = f(4,n)+3，g(n) = 2^g(n-1)

則又g(0) = 2^2^2，g(1981) = 2^2^2^2...^2（1983次^2，一共1984個2）

f(4,1984) = 2^2^2^2...^2（1983次^2，一共1984個2）- 3

 

 

五、設a與d是非負數，b與c是正數，而且b+c≥c+d，試求下式的最小值：

（第四章·習題A·5）

 

題解作法真是妙啊

不妨設a+b≥c+d

原式=(b+c)/(c+d) - c*(1/(c+d)-1/(a+b))

　　≥(a+b+c+d)/(2c+2d) - (c+d)*(1/(c+d)-1/(a+b))

　　=(a+b)/(2(c+d)) - 1/2 +(c+d)/(a+b)

　　≥2*sqrt(1/2) -1/2

　　=sqrt(2) - 1/2

等號成立當且僅當 d=0，b+c=a+d，sqrt(2) (c+d) = a+b

當a=sqrt(2)+1, b=sqrt(2)-1, c=2, d=0，原式最小值爲 sqrt(2) - 1/2

 

 

六、設x,y是正數，S是x,y+1/x,1/y中最小的數，求S的最大可能值。x,y取何值時能達到最大值？

（第四章·習題B·2）

 

個人想法是，原題顯然能夠換1/y爲y'。S=min(x,1/x+1/y',y')。求S的最大值。

　　x,y能夠交換，因此不妨設x<=y。顯然必定存在x<=z<=y，使得1/z+1/z=1/x+1/y'（f(x)=1/x（x>0）函數的連續性）

　　而此時min(z,z,1/z+1/z) >= min(x,y',1/x+1/y')

　　因此能夠證實，當S取得最大值時，x等於y'。S=min(x,2/x)。顯然x=sqrt(2),y=sqrt(2)/2時，S達到最大值sqrt(2)。

題解有一個更天然的作法。S<=x，S<=y+1/x，S<=1/y，且三個不等式中至少有一個等號成立。

　　S<=y+1/x<=1/S+1/S=2/S。S<=sqrt(2)。

　　而當x=sqrt(2),y=sqrt(2)/2時，S剛好達到最大值sqrt(2)。

 

 

七、n個正數x1,x2,...,xn之和等於1，設S是下列各數中最大的數：

求S的最小可能值，x1,x2,...,xn取何值時能達到最小值？

（第四章·習題B·3）

 

咱們設Si = xi/(1+x1+x2+...+xi)。那麼S=max(S1,S2,...,Sn)。要使S最小。

顯然(1-S1)*(1-S2)*...*(1-Sn) = 1/2

顯然必定存在一個 1-Si <= 2^(-1/n)。即必定存在一個Si>=1-2^(-1/n)。

因此咱們得出結論：S>=1-2^(-1/n)

當S=1-2^(-1/n)時，顯然S1=S2=...=Sn=1-2^(-1/n)。

咱們嘗試構造解，當xi=2^(i/n) - 2^((i-1)/n)時，S=1-2^(-1/n)

 

 

八、求函數的最小值

（第五章·習題B·3）

 

在拋物線y^2=2x上取一個點P，使得它到點A(3,2)，點B(1/2,0)的距離和最小。

容易發現，A在拋物線內部，點B(1/2,0)剛好是拋物線焦點，

根據拋物線定義，P到B的距離剛好等於P到準線x=-1/2距離。

PA+PB=AP+P到準線距離>=A到準線距離=7/2。當過A作準線垂線交拋物線於點P時，等號成立。故最小值爲7/2。

 

 

九、求函數的最小值

（第五章·習題B·5）

 

方法一（粗暴的方法）：，

經過餘弦定理得知該式的值爲兩邊分別爲2sqrt(3)，sqrt(3)，夾角爲x，第三條邊的長度。

第2、第三個式子同理。第四個式子：

因而題目能夠轉換成，A(0, 2sqrt(3)), B(1,0), C(2,0), D(2,sqrt(3)，OP=sqrt(3)，求PA+PB+PC+PD最小。

咱們發現以O爲圓心，sqrt(3)爲半徑的圓與AC相切，切點(3/2,sqrt(3)/2)在BD上。

故P取(3/2,sqrt(3)/2)時，PA+PB+PC+PD的值最小，爲6

 

方法二（題解的作法就正常多了）：

 

可看作P與原點距離爲sqrt(3)，即P座標爲(sqrt(3)cosx,sqrt(3)sinx)，該式的值就是P到(2sqrt(3),0)的距離。

以此類推，最後回到P到A、B、C、D四點距離最小值問題。和方法一同樣。

答案爲6。

 

 

 十、求函數的最小值

（第五章·習題B·8） 

 

方法一：

湊一湊平方，而後不等式暴算

 

當等號成立。f(x,y)最小值爲1/2。

方法二（題解作法）：

題解彷佛很喜歡用數形結合？

 

即兩函數上的點的最近距離的平方。

故最近距離顯然是sqrt(2)/2，最小值爲1/2。

 

 

十一、設x,y∈R+，求函數

的最小值.

（第五章·例12） 

 

數形結合大法好啊。

如圖，EA,EB,EC,ED之間相鄰兩條射線夾角爲30°。

EA=ED=sqrt(3)

EB=x,EC=y。

可知原式的值爲AB+BC+CD，最小值爲AD=sqrt(6)

 

 

 十二、

 （第五章·例15） 

 

容易看出能夠根號下能夠因式分解

因此f(x)最大值爲3sqrt(35).

 

 

1三、設{f(n)}是取正整數值的嚴格遞增序列。已知 f(2) = 2，當m,n互質時，f(m·n) = f(m)·f(n)

　　求證：f(n) = n

（第六章·例2）

 

 

1四、利用f(x)的不動點解方程

 

 

 

1五、求出全部的函數f，它的定義域爲一切正實數，而且函數值爲正實數，知足下述條件：

　　(1). f[xf(y)] = yf(x) , 對任意x,y∈R+

　　(2). 當x->∞時，f(x)->0

（第六章·例6）

 

 

 

1六、證實不存在任意實數x均知足f[f(x)] = x^2 - 1996的函數f(x)

（第六章·習題B·3）

 

 

 

1七、設p1(x)=x^2-2，pj(x) = p1[p(j-1)(x)]。試證：對於任意天然數n，pn(x)的全部不動點全是相異的實數。

（第六章·習題B·1）

 

三角換元真是妙啊！

 

 

1八、試證：若函數f(x)在區間I上是平方下凸，也是幾何下凸的，則必定是算術下凸的。

（第七章·例2）

 

　

　　試證：函數f(x) = 1/x^k + a（x>0，a,k∈R+）是0類下凸函數

（第七章·例3） 

 

 

 

1九、已知m≥0，f(x)=x^2+sqrt(m)*x+m+1。求證：對一切x1,x2,…,xn∈R+，均有

其中等號成立當且僅當x1=x2=...=xn成立。

（第七章·例8）

 

奧經給了一種有趣的概括法：

 

 

20、設xi∈R(i=1,2,...,n)，x1+x2+...+xn = 1，k,m∈N+。求證：

（第七章·習題A·2）

 

不是很理解題解的最後一句話（誰懂的話教教我吧），因此這裏搬上本身的作法

與 習題B·2 作法相似

 

 

2一、試證：冪函數f(x)=x^a（x>0，0<a<1）是上凸函數。

（第七章·例1）

 

題解給出了一種神奇的作法

上述伯努利不等式可由求導輕鬆證實

 

 

2二、試求全部函數f:Z->Z，使得對一切n∈Z，有f[f(n)]+f(n)=2n+3，且f(0)=1

（第八章·例3）

 

感受更像數學概括題？

 

 

2三、設函數f(x)對全部x>0有定義，且知足下面條件：

(i) 函數f(x)在(0,+∞)上嚴格遞增；

(ii) 對全部x>0，均有f(x)>-1/x

(iii) 對全部x>0，均有f(x)·f[f(x)+1/x]=1

（1）求函數值f(1)

（2）給出一個知足(1)中三個條件的函數.

（第八章·例6）

 

雖然比較容易，但答案帶根號真是意想不到

 

 

2四、求全部的函數f:R+->R+，知足對任意的x,y∈R+，f(x)·f(y)=f(y)·f[xf(y)]+1/(xy)。

（第八章·例9）

 

捷克和斯洛伐克的題好難啊。。

相當重要的一步：令x=f(y)