variable precision SWAR算法

計算二進制形式中1的數量這種問題，在各類刷題網站上比較常見，以往都是選擇最笨的遍歷方法「矇混」過關。在瞭解Redis的過程當中接觸到了variable precision SWAR算法（如下簡稱VP-SWAR算法），算法異常簡潔，是目前已知的同類方法中最快的。但若是對於位運算不是很熟悉的話，卻不必定容易理解，因此有必要記錄一下。

下面先看看VP-SWAR算法的完整實現，而後再逐行解釋。

  public int vpSWAR(int i){
    i = (i & 0x55555555) + ((i>>1) & 0x55555555);
    i = (i & 0x33333333) + ((i>>2) & 0x33333333);
    i = (i & 0x0F0F0F0F) + ((i>>4) & 0x0F0F0F0F);
    i = (i * 0x01010101) >> 24;
    return i;
  }

VP-SWAR算法分爲四步，第一步

i = (i & 0x55555555) + ((i>>1) & 0x55555555);

第一步的做用是計算每兩位爲一組的二進制形式包含1的個數。要理解這句話，咱們須要從二進制的角度看看到底發生了什麼。首先， 0x55555555 的二進制表示爲 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 ，這個數字的規律是基數位爲1，偶數位爲0。爲了簡單起見，咱們只考慮兩位的狀況，即 總共有四種狀況：

 

i	b	i & b 結果
00	01	00
01	01	01
10	01	00
11	01	01

 觀察發現， i & (0b01) 是i的基數位對應b的1位，i的偶數位對應着b的0位， i & (0b01) 的結果會將I的偶數位置爲0，而基數位保持不變，獲得的結果就是i的基數位包含1的個數。 (i >> 1) & 0x55555555 先將i右移一位，也就是將i的基數位對應b的0位，i的偶數位對應着b的1位，而後再與 0x55555555 按位與，計算出來的是i的偶數位包含1的個數。兩個計算結果相加就獲得i每兩位爲一組中包含的1的數量，咱們最後須要的就是這每兩位一組的和。

第二步是在第一步的基礎上，計算每四位爲一組包含1的個數。按照每2位爲一組分組用到了 0x55555555 這個數，那麼天然的，按照每4位爲一組分組天然就須要 0b0011 這種形式，這就是使用 0x33333333 的緣由。理論上， i & (0b0011) 總共有16種狀況，可是四位二進制位最多包含4個1，用二進制表示爲 0b0100 ，因此通過第一步以後，i最多有5種取值，以下：

i	b	i & b 結果
0000	0011	0000
0001	0011	0001
0010	0011	0010
0011	0011	0011
0100	0011	0000

 

觀察發現， i & (0b0011) 獲得的是i的低兩位包含的1的個數，  (i >> 2) & 0b0011 )獲得的是i的高兩位包含的1的個數，兩個結果相加獲得每四位包含的1的個數。注意，這裏並非說任何數與 0b0011 按位與獲得的都是低兩位包含的1的個數，這裏的前提是第一步的計算，由於通過第一步計算以後，每兩位包含多少個1已經記錄了下來，再和 0b0011 按位與才獲得正確的結果。例如， 0x0010 & 0x 0011=0x0010 ，可是咱們不能說 0x0010 包含兩個1，可是若是 0x0010 是通過第一步的計算得來，那才說明 0x0010 記錄原始數據低兩位有兩個1。

第三步在第二步基礎上，計算每8位有多少個1，由 0x01 和 0x0011 ，很天然想到 0x00001111 ，其對應的32位的十六進制數就是 0x0F0F0F0F 。

第四步就頗有意思了，它再也不是計算每16位包含1的個數，而是直接計算32位包含1的個數。對於32位的數來講，能夠將其按每8位一組分爲4組，分別用ABCD表示，例如 0x01020304 用這種形式表示爲：

 

 

 假設 0x01020304 是通過前三步計算以後獲得的結果，那麼要計算其總共包含多少個1，只需計算A+B+C+D。而ABCD表示的是不一樣的位區間範圍，不能直接相加，該如何快速計算A+B+C+D的值呢？這裏又用到了移位運算，將B、C、D分別左移8位、16位、24位，使其分別與A對齊：

 

 咱們發現，將數字i分別左移0位、8位、16位、24位而後相加的結果，就是 i * 0x01010101 ，由於 i + (i << 8) + (i << 16) + (i << 24) = i * (1 + 1 << 8 + 1 << 16 + 1 << 24) = i * 0x01010101 。對於32位數字來講，左移以後超過32位的部分會被捨棄，低位補0，將左移以後獲得的四個數字相加，結果的高8位的值就是原32位數包含的1的個數，要獲得這個值，只須要將結果右移24位，將值放在低8位便可。

到這裏，整個算法就結束了，右移的結果就是1的數量。在Redis中，BITCOUNT命令同時使用了查表法和VP-SWAR這兩種方法。當要計算的位數小於128位時，使用查表法，不然使用VP-SWAR算法。其中查表法的作法是，程序先存一個256長度的表，按順序記錄從0-255（即 0b00000000 - 0b11111111） 數中二進制1的個數，而後對於輸入參數每8位查一次表。