147.命題邏輯

1.語句

 

1.1命題

一個或真或假，而不能二者都是的陳述句。
說明：

1）命題是陳述句，而不能是疑問句、命令句、感嘆句等；
　　例如（1）把門關上！
           　　（2）你到哪裏去？
2）若是命題爲真，咱們就說它的真值爲真（T或1）；
     若是命題爲假，咱們就說它的真值爲假（F或0）。
3）命題一般用大寫英文字母表示，如 P、Q、R、……。
4）命題語句或真或假，兩者必取一；
　　　　例如   x = 3.

1.1.1命題的分類

原子命題：一個命題，但不能分解成更簡單的命題。
　　例如  我是一位學生。
複合命題 ：若干個原子命題由聯結詞和圓括號聯結起來構成的新命題。
　　例如  我是一位學生和他是一位工人。
命題常元 ：已知真假值的命題。
　　可直接用{T、F} 表示。
命題變元 ：以真假爲其變域之變元，或沒有指定真值的命題，但它不是命題。

　　經常使用大寫英文字母 A , B , … , Z 表示。

1.2悖論

語句既爲真，同時又包含假的不是命題，這樣的句子稱爲「悖論」。
　　例如   我正在說謊。（在命題邏輯中不討論這類問題）

 

例:判斷下列語句是否爲命題。  1）十是整數。  2）上海是一個村莊。  3）外星人曾到過地球。  4）小明很高。  5）π 的小數點後面第十億位上是5。  6）我在說謊。  7）嚴禁隨地吐痰！  8）她身體好嗎？  9）x + y > 4. TTTTTFFFF

 

 

---

---

2.命題聯結詞

在命題邏輯中有如下幾種基本的聯結詞：

¬  ∧  ∨  →  ↔

 

 2.1否認詞(  ¬  )

定義：給定命題 P，則在Ｐ的前面加否認詞 ¬，變爲命題 ¬P，稱其爲 P 的否認或非 P，記爲： ¬P。
其定義可用以下真值表表示:

P	¬P
0	1
1	0

 

 例如： 

P：今天下雨，
¬P：今天不下雨。
Q：每一種生物均是動物。——F
¬Ｑ：有一些生物不是動物。——T
注：這裏¬Ｑ不能講成「每一種生物都不是動物」 ——F.
即對量化命題的否認，除對動詞進行否認外，同時對量化詞也要加以否認。

 

2.2 合取詞( ∧ )

定義：給定兩個命題P、Q，則 P∧Q 稱爲 P 與 Q 的合取，記爲： P∧Q 。

 其定義可用以下真值表表示:

注：Ｐ和Ｑ是互爲獨立的；地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置能夠交換而不會影響ＰΛＱ的結果。
例如：

設  P：張三是三好學生；
    Q：李四是三好學生。
則 P∧Q：張三和李四都是三好學生。
注：並不是全部的「和」都表示「合取」，例如，王五和趙六是兄弟。當謂詞描述的是對象之間的關係時不能用合取。

 

2.3析取詞( ∨ )

定義：給定兩個命題P、Q，則 P∨Q 稱爲 P 與 Q 的析取，記爲： P ∨ Q 。
其定義可用以下真值表表示:

例如

設 P：燈泡壞了；
   Q：開關壞了；
則 P ∨ Q： 燈泡壞了或是開關壞了。
P：今晚寫字；
Q：今晚看書；
則 P ∨ Q：今晚寫字或看書。
P：今天下雨；
Q：今天打雷；
則 P ∨ Q：今天下雨或打雷。

2.3.1 不可兼或

注：區分「可兼或」與「不可兼或」
       並不是全部的「或」都表示「析取」。
       析取詞「∨」爲「可兼或」；
       異或詞「▽」爲「不可兼或」；

例如   我向西走或向東走。

這種「或」就是「不可兼或」（「排斥或」、「異或」）
其特色：當兩個命題的真值不一樣時，原命題的真值爲「1」；不然爲「0」。

可構造真值表以下：

設P：我向西走； Q：我向東走；
則 P ▽ Q：我向西走或向東走。
例如 1）他經過電視看雜技或到劇場看雜技。2）他乘火車去北京或乘飛機去北京。
以上兩句均爲「不可兼或」。

 

2.4蘊含詞(→),   若是…，則….

定義：給定兩個命題P、Q，
命題「若是P，則Q」稱爲「P蘊含Q」，記爲：P→Q。
其中 P 稱爲蘊含前件、條件、前提；
     Q 稱爲後件、結果、結論。

注：當且僅當 P 爲真，Q 爲假時，P→Q 爲假；
       不然， P→Q 均爲真。

其定義可用以下真值表表示:

例1  P：我拿起一本書
      Q：我一口氣讀完了這本書
——形式條件命題
則 P→Q：若是我拿起一本書，則我一口氣讀完了 這本書。

例2  P：月亮出來了
     Q： 3×3=9
——實質條件命題
則 P→Q：若是月亮出來了，則 3×3=9。

例3  a）若是地球是方的，則海水是鹹的。
     b）只有地球是方的海水纔是鹹的。
解：首先用字母表示簡單命題。
設 P：地球是方的；
     Q：海水是鹹的；
該命題符號化爲：a) P→Q  b)¬P→¬Q

注：在平常生活中，用蘊含關係時前提和結論之間都有因果關係，稱爲「形勢蘊含」，

可是在數理邏輯中，蘊含前件和後件能夠沒有任何因果關係，稱爲「實質蘊含」。

2.5 等值詞（雙條件詞） ( ↔ )

定義： 給定兩個命題P、Q，命題「P 當且僅當 Q」稱爲「P 等價 Q」記爲：P↔Q。
當且僅當P、Q同爲真或同爲假時 P↔Q 爲真；不然， P↔Q 爲假。
其定義可用以下真值表表示:

例如  設 Ｐ：△ABC是等腰三角形
         Ｑ：△ABC有兩隻角相等
   則Ｐ↔Ｑ：△ABC是等腰三角形當且僅當△ABC中有   
              兩隻角相等。

例如   設 P：2+2=4；Q：雪是白的，
       則 P↔Q：2+2=4當且僅當雪是白的。

例如   設 P：春天來了；Q：燕子飛回來了，
       則 P↔Q：春天來了當且僅當燕子飛回來了。

 

2.6 命題聯結詞的結合律

1）聯結詞在運算中的優先級由高到低爲：

2）使用括號（  ）能夠改變運算順序——先括號內，後括號外。
3）連續的多個同種聯結詞結協力順序爲從左到右次序。

例如

2.7命題聯結詞小結

(1)五個聯結詞的含義與平常生活中的聯結詞的含義大體相同。
(2)「或」可分爲可兼或（∨）和異或（▽）即不可兼或
(3) 除「¬」爲一元運算外，其他四個均爲二元運算。
(4) 「→」分爲形式條件和實質條件命題，當前件爲「Ｆ」時，不論後件怎樣，則單條件命題的真值均爲「Ｔ」。
(5)命題聯結詞是命題或命題之間的聯結詞，而不是名詞之間、數字之間和動詞之間的聯結詞。

經聯結詞運算後，複合命題真值的規定：

數理邏輯推理步驟以下：
①找出各簡單命題，分別符號化。
②找出各聯結詞，把簡單命題逐個聯結起來。

 例如： 將下列命題符號化：
（1）李明是計算機系的學生，他住在312室或313室。
（2）張三和李四是朋友。
（3）雖然交通堵塞，可是老王仍是準時到達了車站。
（4）老王或小李中有一個去上海出差。
（5）只有一個角是直角的三角形纔是直角三角形。

解：
（1）首先用字母表示簡單命題。
P：李明是計算機系的學生。
Q：李明住在312室。
R：李明住在313室。
該命題符號化爲：P∧（Q▽R）
（2）張三和李四是朋友。是一個簡單句，該命題符號化爲：P
（3）首先用字母表示簡單命題。
P：交通堵塞。
Q：老王準時到達了車站。
該命題符號化爲：P ∧ Q
（4）首先用字母表示簡單命題。
P：老王去上海出差。
Q：小李去上海出差。
該命題符號化爲：P ▽ Q
也可符號化爲：
或者

（5）首先用字母表示簡單命題。
P：三角形的一個角是直角。
Q：三角形是直角三角形。
該命題符號化爲：
注：該命題不能夠化爲

 

3.命題公式

 3.1定義

命題公式：由命題變元、常元、聯結詞、括號，以規定的格式聯結起來的字符串。

定義：命題公式可按下述法則來生成：
(1)孤立的命題變元和命題常元是一個命題公式；
(2)若Ａ是命題公式， ¬Ａ也爲命題公式；
(3)若是A和B是命題公式，則(A∧B），(A∨B) ，(A→B)和(A↔B)都是命題公式；
(4)當且僅當有限次使用規則(l)(2)和（3）所生成的公式纔是命題公式。

 

3.2 命題公式的真值表

對命題變元用特定的命題來取代，這一過程稱爲對該命題變元進行指派。
命題公式能夠當作是一個以真假值爲定義域和真假值爲值域的一個函數。寫成ｙ＝ｆ(x)

例如：公式P →(Q → R) 可定義三元函數
Y(P，Q，R)＝ P →(Q →R)

定義：命題公式 A 在其全部可能的賦值下取得的值所列成的表稱爲 A的真值表。

構造命題公式真值表的步驟以下：
1)找出給定命題公式中全部的命題變元，列出全部可能的賦值。
2)按照從低到高的順序寫出命題公式的各層次。
3)對應每一個賦值，計算命題公式各層次的值，直到最後計算出整個命題公式的值。

例1：構造命題公式 ¬ (( P ∨ Q )∧P) 的真值表

例2：構造命題公式¬(P∨¬R)∧(Q∨¬P)的真值表

例3  構造命題公式(P∧(P→Q))→Q 的真值表   永真式（重言式）

例4：證實 P ↔ Q 與 P∧Q ∨ ¬P ∧ ¬Q 是邏輯等假命題。
證實：可列真值表證實  真值表相同的兩個公式稱爲等價公式。

由上二例可見，在一個命題公式中，包含：
２個命題變元就有４組真值指派；
３個命題變元就有 2³＝ ８組真值指派，
ｎ個命題變元則有 2ⁿ 個真值指派。

幾點說明
熟練以後，真值表的中間有些層次可不寫
真值表的用途
    （1）有了公式A的真值表就知道了A的一切信息
    （2）其它用途待續

3.3 重言式（永真式）

舉例說明

3.3.1定義

1）設命題公式A(P1,P2,...,Pn)中含有n個不一樣的原子變元 P1,P2,...,Pn(n爲正整數)。

該變元組的任意一組肯定的值（U1,…,Un）稱爲Ａ關於 P1,…,Pn 的一個徹底指派，其中 Ui 或爲Ｔ或爲Ｆ。

若是對於Ａ中部分變元賦以肯定值，其他變元沒有賦以肯定的值，

則這樣的一組值稱爲公式Ａ的關於該變元組的部分指派。

2）使得公式 A 的真值爲真的指派稱爲成真指派；使得公式 A 的真值爲假的指派稱爲成假指派；

3）若是一個命題公式 A 的全部徹底指派均爲成真指派，則稱公式 A 爲重言式(永真式)。
若是一個命題公式 A 的全部徹底指派均爲成假指派，則稱公式 A 爲矛盾式(永假式)。
既不是永真式，又不是永假式，則稱此命題公式是可知足式。

3.3.2 永真式的特色

（１）永真式的否認爲永假式（￢Ｔ＝Ｆ）；
           永假式的否認爲永真式（￢Ｆ＝Ｔ）。
（２）二個永真式的析取、合取、蘊含、等值等均爲永真式。

例如  求（P∧Q）∧﹁P 與（P∨Q）∨﹁P 的真值表。

 

3.4等價式

3.4.1定義

若是對兩個公式Ａ，Ｂ不論做何種指派，它們的真值均相同，則稱Ａ，Ｂ是邏輯等價的，亦說Ａ等價於Ｂ，記做A ⇔B

例如  P ∨ ¬ P   ⇔  Q ∨ ¬  Q

例如  判斷公式A：(P ∨ ¬ Q) ∨ (P ∨ Q) 與 B：(P ∨¬ R) ∨ (P ∨ R) 是否等價

解：列該公式的真值表

 

3.4.2 定理

命題公式A⇔B的充要條件是A↔B爲永真式

說明：
①「⇔」爲等價關係符。
     Ａ⇔Ｂ表示Ａ和Ｂ有等價關係。
     Ａ⇔Ｂ不爲命題公式。
②「↔」爲等值聯結詞（運算符）。
     若Ａ、Ｂ爲命題公式，則（Ａ↔Ｂ）也爲一命題公式。

例如    證實：  ¬ ¬P ⇔ P
                          P → Q ⇔ ¬ P ∨ Q.
解：列公式的真值表

 

3.4.3 等價式的性質

1）自反性: A ⇔ A.
2）對稱性: A ⇔ B，則 B ⇔ A.
3）傳遞性: A ⇔ B， B ⇔ C，則 A ⇔ C.

3.4.4 經常使用等價公式

 說明：
（1）上述１7組等價公式的證實方法可用真值表法，即把 ⇔改成 ↔ 所得的命題公式爲永真式，則 ⇔ 成立。
（2） Λ、∨、 ↔ 均知足結合律，則在單一用 Λ、∨、 ↔ 聯結詞組成的命題公式中，括號能夠省去。

 

3.4.5置換原則

《定義》給定一命題公式Ｂ，其中P1,P2 ,…,Pn 是Ｂ中的原子命題變元，若
（1）用某些命題公式Ａi代換Ｂ中的一些原子命題變元 Pi；
（2）用命題公式Ａi 代換 Pi，則必須用Ａi代換Ｂ中的全部Pi；
   由此而獲得的新的命題公式Ａ稱爲命題公式Ｂ的代換實例。

討論定義：
（１）用命題公式只能代換原子命題變元，而不能去代換分子命題公式。
（２）要用命題公式同時代換同一個原子命題變元。
（３）永真式的代換實例仍爲永真式；
     反之，若代換實例爲永真式時，則不能判定原公式也必定是永真式。

 例１  設Ｂ：Ｐ→（ ¬ QΛＰ）.
  現用（Ｒ↔Ｓ）代換Ｂ中的Ｐ，得
        Ａ：(Ｒ↔Ｓ)→( ¬ QΛ(Ｒ↔Ｓ))
則Ａ是Ｂ的代換實例；
而Ａ’：(Ｒ↔Ｓ)→(¬ QΛＰ)不是B的代換實例。

例２  Ｐ→ ¬Ｑ的代換實例有：
     (ＲΛ ¬Ｓ)→ ¬Ｍ，
     (ＲΛ ¬Ｓ)→Ｐ，
     Ｑ→ ¬ (Ｐ→ ¬Ｑ)等.
因此，一個命題公式的代換實例有無限個。

下面討論取代過程（置換規則）：
《定義》給定一命題公式 A，設 A’是 A 的任何部分。若是 A’也是一個命題公式，則稱 A’是 A 的 子命題公式。
《替換規則定理》給定一命題公式 A，設 A’是 A 的子公式。設 B’是一命題公式，若是 A’⇔ B’，而且用B’取代 A 中 的 A’，從而生成一新的命題公式 B,則有 A ⇔ B。
注：從定理可見，一個命題公式A，經屢次取代，所獲得的新公式與原公式等價。

例1   證實輸出律：
Ｐ→(Ｑ→Ｒ)  ⇔ (ＰΛＱ)→Ｒ
證實：Ｐ→(Ｑ→Ｒ) ⇔ Ｐ→(¬Ｑ∨Ｒ)
                  ⇔ ¬Ｐ∨ (¬Ｑ∨ Ｒ)
                  ⇔ ¬(ＰΛＱ) ∨Ｒ
                  ⇔ (ＰΛＱ)→Ｒ
真值表證實法

 

例2：證實：
(  (Ｐ∨Ｑ) Λ ¬ ( ¬ＰΛ ( ¬Ｑ∨ ¬Ｒ) )  ) ∨ ( ¬ＰΛ ¬Ｑ)  ∨  (¬ＰΛ ¬Ｒ)爲一永真式。
證實：原式
⇔ (  (Ｐ∨Ｑ) Λ ¬ ( ¬ＰΛ ¬( ＱΛＲ) )  ) ∨ ¬( Ｐ∨ Ｑ) ∨ ¬(Ｐ∨Ｒ)
⇔ (  (Ｐ∨Ｑ) Λ  ( Ｐ∨ ( ＱΛＲ) )  )∨ ¬( Ｐ∨ Ｑ) ∨ ¬(Ｐ∨Ｒ)
⇔ (  (Ｐ∨Ｑ) Λ  ( Ｐ∨ ( ＱΛＲ) )  ) ∨ ¬( Ｐ∨ Ｑ) ∨ ¬(Ｐ∨Ｒ)
⇔(  (Ｐ∨Ｑ) Λ  ( (Ｐ∨Ｑ) Λ (Ｐ∨Ｒ) )  ) ∨ ¬ (  ( Ｐ∨ Ｑ) Λ (Ｐ∨Ｒ)   )
⇔ (  (Ｐ∨Ｑ) Λ (Ｐ∨Ｒ)  ) ∨ ¬ (  ( Ｐ∨ Ｑ) Λ (Ｐ∨Ｒ)   )
⇔ T
∵它是Ｐ Λ ¬Ｐ（永真式）的代換實例，永真式的代換實例仍爲永真式

 

3.4.6對偶原理

《定義》給定兩個限定性命題公式(僅含¬，∧，∨) A和A*，若用∨代換∧，用∧代換∨，用T代換F，用F代換T。代換以後，一個命題公式可由另外一個命題公式得來，則稱 A和A* 互爲對偶式，而聯結詞 ∧和∨ 也是互爲對偶的。

討論定義：
(1)若命題公式中有聯結詞 →，↔，則必須把其化成由聯結詞Λ，∨，¬ 組成的等價的命題公式，而後求它的對偶式；
(2)在寫對偶式時，原命題公式中括號不能省去，且必須按優先級的次序畫上括號，並在求其對偶式時仍將保留括號。

例1：求(P→Q)Λ(P→R)的對偶式。
解：(¬P∨Q)Λ(¬P∨R)
對偶式：(¬PΛQ) ∨ (¬PΛR)
例2：求(ＰΛＱ)∨Ｒ的對偶式。
解: 對偶式： （Ｐ∨Ｑ）ΛＲ
注： (ＰΛＱ)∨Ｒ的對偶式必須寫成（Ｐ∨Ｑ）ΛＲ，而不能寫成Ｐ∨ＱΛＲ。

定理1:設A和A*是對偶式，P1,P2,…,Pn是出如今A和A*中的全部原子命題變元,則有
        ¬A(P1,P2,…,Pn) ⇔ A*(¬P1,¬P2,…,¬Pn)
        A(¬P1,¬P2,…,¬Pn) ⇔ ¬A*(P1,P2,…,Pn)

注  不難看出，一個命題公式的否認等價於它的對偶式，且用變元的否認代替每個變元。

定理2:(對偶定理)若二個命題公式互爲等價，則它們的對偶式也互爲等價，亦即若 A⇔B，則 A * ⇔B *。

結論：（１）和（２）是互爲對偶的。

 

3.5 永真蘊含式

3.5.1 定義

命題公式Ａ稱爲永真蘊含命題公式Ｂ，當且僅當Ａ→Ｂ是一個永真式，記做：Ａ⇒Ｂ

 說明：「Ａ⇒Ｂ」讀做「Ａ永真蘊含Ｂ」，  「Ａ蘊含Ｂ」，  「Ａ能推得Ｂ」     「⇒ 」是關係符，Ａ⇒ Ｂ不是命題公式。

例如     證實：Ｐ⇒ Ｐ∨Ｑ； ＰΛＱ⇒ P
方法1：列出真值表
證實：Ｐ→(Ｐ∨Ｑ)和(ＰΛＱ)→Ｐ爲永真式.

方法2：可用等價公式證

3.5.2 定理

設Ａ、B是兩個命題公式，則Ａ⇔Ｂ的充要條件是Ａ⇒Ｂ且Ｂ⇒ Ａ。

3.5.3 經常使用的永真蘊含式

 

3.5.4 證實方法

證實上述永真蘊含式的方法有三種：
(1)把「⇒」關係符改成「→」聯結詞，證實它爲永真式。
   (a)真值表法
   (b)命題演算法

(2)＊找出使單條件命題的前件爲「Ｔ」的全部真值指派，試看可否致使後件均爲「Ｔ」，若爲「Ｔ」，則永真蘊含關係式「⇒」成立。

例如   證實假言推理 :ＰΛ(Ｐ→Ｑ)  ⇒ Ｑ.
證：前件爲「Ｔ」的全部指派爲:
Ｐ、 (Ｐ→Ｑ)均爲「Ｔ」，
Ｐ→Ｑ爲「Ｔ」，
∵Ｐ爲「Ｔ」，
∴Ｑ也應爲「Ｔ」 ，
∴ＰΛ(Ｐ→Ｑ)  ⇒ Ｑ成立。

(3)＊找出使單條件命題的後件均爲「Ｆ」的全部真值指派，試看前件的全部真值是否也爲Ｆ」，如果，則永真蘊含關係式「⇒」成立。

例如   證實拒絕式 : ¬ ＱΛ (Ｐ→Ｑ)  ⇒  ¬ Ｐ.
證：後件爲「Ｆ」的全部真值指派是：
Ｐ爲「Ｔ」，
代入前件得
(i)若Ｑ爲Ｔ，則¬ＱΛ (Ｐ→Ｑ)爲「Ｆ」；
(ⅱ)若Ｑ爲Ｆ，則¬ＱΛ (Ｐ→Ｑ)爲「Ｆ」；
∴ ¬ＱΛ (Ｐ→Ｑ)  ⇒  ¬Ｐ成立.

注：若後件簡單則可選用(3)；若前件簡單則可選用(2)。二種方法是互爲獨立的，只需使用其中一種證實就行。

討論一下永真式，可得出三個結論：
(1)若一個命題公式等價於一個永真式，則該公式必定爲永真式。
(2)若一個永真的命題公式永真蘊含一個命題公式，則此命題公式必定也爲永真式。
(3)若一個永假的命題公式永真蘊含一個命題公式，則該公式多是永真式、永假式或可知足的。

3.5.5 定理

定理：給定命題公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若Ａ⇒Ｂ，且Ｂ⇒Ｃ，則Ａ⇒Ｃ

推論：若Ａ⇒ B1 ，B1 ⇒ B2，…，Bm ⇒Ｂ， 則Ａ⇒Ｂ

定理：給定命題公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若A⇒B、A⇒C，則  A ⇒ B∧C

定義：設H1,H2, …,Hm,Ｑ均爲命題公式，若（H1 Λ H2  Λ … Λ H ） ⇒Ｑ，則稱H1,H2, …,Hm共同蘊含Ｑ，並記做：H1,H2, …,Hm ⇒Ｑ.
定理：若 (H1 Λ H2  Λ … Λ Hm)，P  ⇒ Ｑ，則 (H1 Λ H2  Λ … Λ Hm)  ⇒ (P →Ｑ).

3.6 範式

3.6.1 定義

3.6.1.1 問題引出

如何斷定命題公式爲永真式、永假式和可知足的呢？
如何斷定兩個命題公式等價？

概括起來有三種方法：
(1)真值表法：對於變元的全部真值指派，看對應命題公式的真值。
(2)命題演算方法：化簡命題公式至最簡式，看是否存在與（Ｐ∨ ¬Ｐ）或（Ｐ∧ ¬Ｐ）等價，若不則爲可知足的。
(3)範式方法：本節就介紹此法。

#

什麼叫範式

把命題公式化歸爲一種標準的形式，稱此標準形式爲範式。

#

什麼叫斷定

以有限次步驟來決定命題公式是否爲永真式、永假式，仍是可知足的，或者斷定二個命題公式是否等價等這一類問題，統稱爲斷定問題。

#

討論範式和主範式的目的就是爲了進行斷定。

 

3.6.1.2 基本積和基本和

##定義：設命題變元爲：Ｐ、Ｑ、Ｒ，則：析取式（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）稱爲「和」； 合取式（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）稱爲「積」。

##定義：命題公式的變元和變元的否認之積稱爲基本積；而變元和變元的否認之和稱爲基本和。

　　　　「基本和」或「基本積」中的子公式，稱爲此基本積（和）的因子。
例如：設Ｐ、Ｑ爲二個命題變元，則：
基本和：Ｐ∨Ｐ，Ｑ∨Ｑ， ¬Ｐ∨Ｑ， ¬Ｑ∨ ¬Ｐ，Ｐ∨Ｑ，Ｐ∨ ¬Ｑ；
基本積：Ｐ∧Ｐ，Ｑ∧Ｑ， ¬Ｐ∧Ｑ， ¬Ｑ∧ ¬Ｐ，Ｐ∧Ｑ，Ｐ∧ ¬Ｑ。
例如： 基本積  ¬Ｑ∧Ｐ∧  ¬Ｐ的因子有：¬Ｑ、Ｐ、  ¬Ｐ、  ¬Ｑ∧Ｐ、Ｐ∧  ¬Ｐ……

##定理：一個「基本積」 一定是永假式，其充要條件是，它至少包含一對因子，且其中一個是另外一個的否認。
##定理：一個「基本和」 一定是永真式 ，其充要條件是，它至少包含一對因子，且其中一個是另外一個的否認。
例如： 基本和 ¬Ｑ∨Ｐ∨ ¬Ｐ的因子有：¬Ｑ、Ｐ、 ¬Ｐ、 ¬Ｑ∨Ｐ、Ｐ∨ ¬Ｐ……

 

3.6.1.3 析取範式和合取範式

##定義：設與給定命題公式  A 等價的一個公式，若是其是由基本積之和組成，

則稱它爲命題公式  A的析取範式。並記爲：A ⇔ P1∨ P2 ∨，…， ∨ Pn

其中P1，P2 ，…，Pn均爲基本積。

##定義：設與給定命題公式  A 等價的一個公式，若是其是由基本和之積組成，

則稱它爲命題公式  A的合取範式。並記爲：A ⇔ Q1∧ Q2∧，…，∧Qn

其中Q1，Q2 ，…，Qn均爲基本和。

 

3.6.1.4主析取範式和主合取範式

##定義：在ｎ個變元的基本積中，若每一個變元及其否認並不一樣時存在，

　　　　且兩者之一必出現一次且僅出現一次，則稱此基本積爲極小項。

對一個命題變元講，極小項有2¹=2個，即：Ｐ、 ¬Ｐ

對於二個命題變元，極小項有2²=4個，即：Ｐ∧Ｑ、 ¬Ｐ∧Ｑ、Ｐ∧ ¬Ｑ、 ¬Ｐ∧ ¬Ｑ

對三個命題變元講，極小項有23=8個，即：Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ ¬Ｒ、Ｐ∧ ¬Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧ ¬Ｑ∧ ¬Ｒ、¬Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、 ¬Ｐ∧Ｑ∧ ¬Ｒ、 ¬Ｐ∧ ¬Ｑ∧Ｒ、     ¬Ｐ∧ ¬Ｑ∧ ¬Ｒ

推廣到通常：ｎ個命題變元構成的不一樣極小項有2ⁿ個（n∈I₊）。使得每一個極小項爲真的賦值僅有一個。

##定義：給定一命題公式，其僅含有極小項析取的等價式稱爲給定命題公式的主析取範式。

例如：Ｐ→Ｑ⇔ ( ¬Ｐ∧ ¬Ｑ)∨ ( ¬Ｐ∧Ｑ) ∨ (Ｐ∧Ｑ)

#

##定義：在ｎ個變元的基本和中，若每一個變元與其否認並不一樣時存在，

　　　　且兩者之一必出現一次且僅出現一次，則稱這種基本和爲極大項。

對於兩個變元Ｐ,Ｑ，其極大項有 2²=4 個，即（Ｐ∨Ｑ）、（Ｐ∨ ¬Ｑ）、（ ¬Ｐ∨Ｑ）、（ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ）
推廣到通常：ｎ個命題變元構成的不一樣極大項有2ⁿ個（n∈I₊）。

 ##定義：給定一命題公式，其僅含有極大項合取的等價式稱爲給定命題公式的主合取範式。

^爲合取，兩邊都知足叫合取，中間部分主要，中間部分是合取，用^鏈接叫主合取範式

例如：Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ ⇔ （Ｐ∨Ｑ）∧（ ¬Ｐ∨Ｑ）

 

3.6.2 求範式

 3.6.2.1 求公式的析取範式和合取範式的步驟

(1)利用等價公式，化去聯結詞「→」、「↔」 ，把命題公式變爲與其等價的且用{¬ ，∧，∨}表達的公式；

例1: Ｐ→Ｑ ⇔ ¬Ｐ∨Ｑ，
　　Ｐ↔Ｑ ⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）⇔ （ ¬Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨ ¬Ｑ）

(2)將「¬」深刻到原子命題變元以前，並使變元以前最多隻有一個「¬」詞；

例2: ¬ （ ¬Ｐ∨ ¬Ｑ） ⇔ ¬ ¬Ｐ∧ ¬ ¬Ｑ
　　⇔Ｐ∧Ｑ

(3)利用「∧」與「∨」的分配律，將公式化爲析取範式（合取範式）。

(4)去掉永假項（永真項）得最簡析取範式（最簡合取範式）。

例3 求公式 ¬ (P∨Q) ↔(P∧Q) 的析取範式。

解 原式
⇔ (¬ （Ｐ∨Ｑ） ∧ （Ｐ∧Ｑ）) ∨ (（Ｐ∨Ｑ）∧ ¬ （Ｐ∧Ｑ）)
-----（1）化去↔詞

⇔  (¬Ｐ∧ ¬Ｑ∧ Ｐ∧Ｑ) ∨ (（Ｐ∨Ｑ）∧ （¬Ｐ∨ ¬Ｑ）)
——（2）「¬」深刻到變元前，並最多保留一個

⇔ (（Ｐ∨Ｑ）∧ （¬Ｐ∨¬Ｑ）)

⇔ (Ｐ∧¬Ｐ）∨（ Ｐ∧ ¬Q）∨ (Q∧ ¬P) ∨ （Ｑ∧ ¬Ｑ）
——（3）「∧」對「∨」的分配，化爲析取範式

⇔（Ｐ∧ ¬Ｑ） ∨ （¬Ｐ∧Ｑ）
——（4）最簡析取範式

注：(1)從上例看出，一個命題公式的析取範式不是惟一的，但同一命題公式的析取範式必定是等價的。

(2)若一個命題公式的析取範式中各基本積均爲永假式，則該公式也必定爲永假式。(可用來斷定命題公式 A是否爲永假式)

即，A ⇔ P1∨ P2 ∨…∨ Pn    (其中P1，P2 ，…，Pn均爲基本積)
則，當P1 ⇔ P2⇔ … ⇔ Pn⇔ F時，A必定爲永假式。

例4（析取範式）：Ｐ↔ ¬Ｐ
⇔（Ｐ∧ ¬Ｐ）∨（ ¬Ｐ∧Ｐ）
⇔ Ｆ 永假式

例5：求Ｑ∨ ¬(Ｐ→Ｑ)∨¬ (Ｐ∨Ｑ)的合取範式.

解：原式

⇔ Ｑ∨ ¬ (¬Ｐ∨Ｑ)∨ ¬ (Ｐ∨Ｑ)
——化去「→」詞
⇔ Ｑ∨ (Ｐ∧ ¬Ｑ) ∨ ( ¬Ｐ∧ ¬Ｑ)
——「」深刻到變元前，並最多保留一個
⇔  ( (Ｑ∨Ｐ) ∧ (Ｑ∨ ¬Ｑ) ) ∨ (¬Ｐ∧ ¬Ｑ)
——「∨」對「∧」的分配
⇔  (Ｑ∨Ｐ) ∨ (¬Ｐ∧ ¬Ｑ)
⇔  (Ｑ∨Ｐ∨ ¬Ｐ) ∧ (Ｑ∨Ｐ∨ ¬Ｑ)
⇔ Ｔ（最簡合取範式）

注：(1)給定一命題公式的合取範式不是惟一的，但同一命題公式的合取範式必定是等價的。

(2)若一個命題公式的合取範式中的各基本和的真值爲「Ｔ」，則該命題公式必定是永真式。(可用來斷定命題公式 是否爲永真式)

即，A ⇔ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn   (其中P1，P2 ，…，Pn均爲基本和)
則，當P1 ⇔ P2 ⇔ … ⇔ Pn ⇔ T時，A必定爲永真式。

例6（合取範式）：（Ｐ ↔Ｐ）
⇔  （ ¬Ｐ∨Ｐ）∧（Ｐ∨ ¬Ｐ）
⇔    Ｔ

3.6.2.2求主析取範式

【法一】

定理：在真值表中，一個公式的真值爲Ｔ的指派所對應的極小項的析取，即爲此公式的主析取範式。

例1：求Ｐ→Ｑ、Ｐ∨ ¬Ｑ、 ¬（Ｐ∧Ｑ）、Ｐ∧ ¬Ｑ的主析取範式.

則可直接寫出各命題公式的主析取範式：
Ｐ→Ｑ⇔ ( ¬Ｐ∧ ¬Ｑ)∨ ( ¬Ｐ∧Ｑ) ∨ (Ｐ∧Ｑ)
Ｐ∨¬Ｑ⇔ (¬Ｐ∧¬Ｑ) ∨ (Ｐ∧¬Ｑ) ∨ (Ｐ∧Ｑ)
¬(Ｐ∧Ｑ) ⇔¬(¬Ｐ∧¬Ｑ) ∨ (¬Ｐ∧Ｑ) ∨ (Ｐ∧¬Ｑ)
Ｐ∧ ¬Ｑ⇔ (Ｐ∧¬Ｑ)

討論此定理：
(1)只要命題公式不是永假式，則必定能夠根據該命題公式的真值表直接寫出其主析取範式，

　　其方法是找出該公式爲「Ｔ」的行，對應寫出極小項的析取式，且必定是惟一的。

(2)若命題公式是含有n個變元的永真式，則它的主析取範式必定含有2ⁿ個極小項。

(3)若兩個命題公式對應的主析取範式相同，則此兩個命題公式必定是等價的。

(4)命題公式的主析取範式中極小項的個數必定等於其對應真值表中真值爲「Ｔ」的個數。

【法二】

不用真值表，直接求命題公式主析取範式的方法，分四步：

(1)將命題公式化爲與其等價的析取範式；
(2)除去永假項，合併基本積中的相同項（例：Ｐ∧Ｐ∧Ｑ⇔Ｐ∧Ｑ），變爲最簡析取範式。
(3)利用添變元的方法，將全部基本積變爲極小項。

例如 設有二個變元Ｐ、Ｑ，利用「∧」對「∨」的分配律添項：
Ｐ ⇔ Ｐ∧（Ｑ∨ ¬Ｑ） ⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）
Ｑ ⇔ Ｑ∧（Ｐ∨ ¬Ｐ）⇔（Ｐ∧Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｑ）

(4) 合併相同的極小項，只保留一項。

例1: 求（Ｐ∧（Ｐ→Ｑ））∨Ｑ的主析取範式。

解：原式 ⇔（Ｐ∧ ¬Ｐ）∨（Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ
----（1）化爲析取範式
⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ
----（2）消去永假項，變爲最簡析取範式

⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｑ∧（Ｐ∨¬Ｐ））
⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｑ）
----（3）添項

⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｑ）     主析取範式

----（4）合併相同極小項

 

3.6.2.3求主合取範式

【法一】

定理：在真值表中，一個公式的真值爲F的指派所對應的極大項的合取，即爲此公式的主合取範式。

注：在真值表中真值爲「Ｆ」的個數等於主合取範式中極大項的個數。

例如 求（Ｐ→Ｑ）、（Ｐ∨Ｑ）、 ¬（Ｐ∧Ｑ）、（Ｐ∧Ｑ）的主合取範式。

直接寫出其主合取範式：
（Ｐ→Ｑ） ⇔ （ ¬Ｐ∨Ｑ）（極大項）主合取範式

　　           ⇔ （ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）主析取範式

 

注：

（１）與命題公式等價的主合取範式中極大項的個數等於其真值表中真值爲「Ｆ」的個數。

　　　由真值表找極大項的方法爲：將表中真值爲「Ｆ」的對應變元指派中，把變元寫成否認，把變元的否認寫成變元。
（２）只要命題公式不是永真式，則必定能夠寫出與其等價的惟一的主合取範式。
（３）若命題公式爲含有ｎ個變元的永假式，則主合取範式包含了2n個極大項的合取式。

（４）可用主合取範式斷定兩個命題公式是否等價。
（５）已知一個命題公式的主析取範式，則必定能夠直接寫出與其等價的主合取範式來。反之也行。

（６）對於有ｎ個變元的命題公式，則必定有：主析範式極小項數＋主合範式極大項數＝ 2ⁿ.

 

【法二】

不用真值表求一命題公式主合取範式的方法：

(1)將命題公式化爲與其等價的合取範式；
(2)除去永真項，合併基本和中的相同項（例：Ｐ∨Ｐ∨Ｑ⇔Ｐ∨Ｑ），變爲最簡合取範式。
(3)利用添變元的方法，將全部析取項均變爲極大項。

例如：Ｐ、Ｑ爲兩個變元，即：
Ｐ⇔Ｐ∨（Ｑ∧ ¬Ｑ）⇔ （Ｐ∨Ｑ）∧（Ｐ∨ ¬Ｑ）

(4) 合併相同的極大項，只保留一項。

例1：求Ｐ∧（Ｐ→Ｑ）∨Ｑ的主合取範式。

解：原式 ⇔Ｐ∧（ ¬Ｐ∨Ｑ）∨Ｑ
⇔ （Ｐ∧ ¬Ｐ）∨ （Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ
⇔ （Ｐ∧Ｑ）∨Ｑ
⇔ （Ｐ∨Ｑ）∧Ｑ
⇔ （Ｐ∨Ｑ）∧（Ｑ∨ （ ¬Ｐ∧ Ｐ））
⇔ （Ｐ∨Ｑ）∧（ ¬Ｐ∨Ｑ） ∧（ Ｐ∨Ｑ）
⇔ （Ｐ∨Ｑ）∧（ ¬Ｐ∨Ｑ）.

 

3.6.3 主範式排序（列）的惟一性

3.6.3.1 極小項及其編碼

爲了確保主範式的惟一性，兩個安排：

（a）固定各命題變元的位置次序；

（b）對極小項、極大項安排一個次序。

對於有ｎ個變元的命題公式，則最多可有2ⁿ個極小項，用m0， m1 ，… ， m_2ⁿ-1來表示。

例如  給定三個變元，且Ｐ、Ｑ、Ｒ的位置已排定，則其極小項的次序爲：

從而，可概括出一求極小項m_(i)十的方法：
(a)把(i)_十變換成等價的(J0J1…Jn-1)_二；
(b)由二進制寫出其對應的極小項。

例1：設一命題公式有五個變元，P0,P1,P2,P3,P4（次序已定），

則必可寫出2⁵=32個極小項，下面列出m₍₁₁₎₊和m₍₁₈₎₊的極小項表示：

 

例2：求（Ｐ∧Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｒ）的極小項編碼表達式：（設Ｐ、Ｑ、Ｒ次序已定）

 

3.6.3.2 極大項及其編碼

對於有ｎ個變元的命題公式，則最多可有2ⁿ個極大項，用M0，M1，…，M_2ⁿ-1表示。

例如 給定三個變元，且Ｐ、Ｑ、Ｒ的位置已排定，則其極大項的次序爲：

 

 

求極大項的方法：
(a)把(i)_十變換成等價的(J0J1…J_n-1)_二；
(b)由二進制寫出其對應的極大項。

例1：求（Ｐ∧Ｑ）∨（ ¬Ｐ∧Ｒ）的極大項編碼表示（設Ｐ、Ｑ、Ｒ次序已定）

 

例2：寫出（Ｐ∨ ¬Ｑ）的主析取和主合取編碼表示。

 

由真值表可知：
Ｐ∨¬Q ⇔ ∑ 0,2,3
　　　 ⇔ ∏ 1

主析範式爲：
（ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）
主合範式爲：P ∨ ¬ Q
且P ∨ ¬ Q ⇔ （ ¬Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧ ¬Ｑ）∨（Ｐ∧Ｑ）

 4.證實方法

4.1定義

在命題邏輯中，除了利用等價關係來斷定問題以外，還能夠用推理來斷定問題。

推理 ：斷定由給定前提A是否能推導出某個結論B，
　　　即斷定命題 A 是否永真蘊含命題 B。

推論規則：肯定論證有效性的判據。
　　　　其依據是經常使用的永真蘊含式和等價公式。

　　推理規則是正確推理的依據，而正確推理對任何一門學科都很是重要。

　　按公認的推理規則，從前提集合中推導出一個結論來，這樣的推導過程稱爲演繹，或者叫形式證實。

　　根據推理規則推導出來的任何結論稱爲有效結論。

　　在任何論證中，若認定前提是真的，而且從前提集合推導出結論的論證是遵照了推理規則的，則咱們稱此結論是合法的。

 

4.2證實方法

證實方法，概括分紅三類：

（一）真值表技術；
（二）推理規則；
（三）間接證實法

4.2.1 真值表技術

1）依據

真值表技術的主要依據是「→」的真值表定義。
若Ｐ⇒Ｑ當且僅當（Ｐ→Ｑ）爲永真式。

 2）定義

定義：給定兩個命題公式 A 和 B，當且僅當Ａ→Ｂ是一個永真式，
　　才能夠說Ｂ是從Ａ推導出來的（A ⇒ B），或稱Ｂ是前提Ａ的有效結論。

定義：設H1，H2，... ，Hm，C 都是命題公式，

　　當且僅當 H1 ∧ H2 ∧ ... ∧ Hm  ⇒ C ，則稱 C是前提集合{H1，H2，... ，Hm}的有效結論 。

 3）方法

從給定真值表判斷 H1 ∧ H2 ∧ ... ∧ Hm ⇒ C ，經常使用的判斷方法有兩種：
（１）檢查真值表中 H1，H2，... ，Hm 所有爲「Ｔ」的全部行，

　　看結論Ｃ是否也均爲「Ｔ」，若Ｃ均爲「Ｔ」，則結論有效，不然結論無效。

（２）看結論Ｃ爲「Ｆ」的全部行，檢查每行前提H1，H2，... ，Hm中是否至少有一個爲Ｆ，

　　如有「Ｆ」，則結論有效；不然結論無效。

例如 試證實下列結論是否有效（畫出真值表）.

 

由真值表可見：

（１）Ｐ，Ｐ→Ｑ⇒Ｑ 有效
（２）Ｐ→Ｑ， ¬Ｐ⇒Ｑ 無效
（３）Ｐ→Ｑ， ¬ （Ｐ∧Ｑ） ⇒ ¬Ｐ 有效
（４） ¬Ｐ，Ｐ↔Ｑ⇒ ¬ （Ｐ∧Ｑ） 有效

（５）Ｐ→Ｑ，Ｑ⇒Ｐ 無效

真值表技術在前提數目較多時，是比較繁瑣的。下面介紹基於推理規則的方法。

 

 4.2.2推理規則

1）依據

從這節開始，咱們只討論命題論證的有效性，而不去討論命題的真假值；
∴在推理規則中不須要有真值表，也不須要對命題進行真值指派。

推理規則的依據是經常使用的永真蘊含式和等價公式。

 

 2）最經常使用的推理規則

 

3）推理公式構造的兩個規則:

•P 規則：在推導的任何步驟上，均可以引入前提。
•T 規則：在推導過程當中，若是前面有一個或多個命題公式永真蘊含命題公式 S，

　　　　那麼就能夠把公式 S 引入推導過程之中。

例1 證實： P→ Q，Q→R，P ⇒ R.

證實 推理過程以下：

 

也能夠這樣來推理：

 

例2 證實構造性二難推理：

(P→ Q)∧(R→ S) ∧ (P∨R) ⇒ Q∨S

證實 推理過程以下：

4）條件證實的 CP 規則：
若是能從Q和給定的前提集合P中推導出R來，
則就能從前提集合P中推導出（Q → R）來。
即：若 P∧Q ⇒ R，則 P ⇒ (Q → R).

注：當待證的有效結論是一個如 Q→R 類型的條件命題時，

咱們能夠將有效結論中的前提 Q 單獨提出來加到前提中去，

而後證實剩下的後件 R 是附加了前提以後的新的一組前提P∧Q的有效結論。

這種附加前提的證實方法——條件證實的CP規則。

證實 由於：P →(Q →R) ⇔ (P ∧ Q) →R
∴要證實 P ⇒ (Q→ R)
即 P → (Q → R)爲永真式
即 (P ∧ Q) → R 爲永真式.
即 (P ∧ Q) ⇒ R .

 

例1： P →(Q → S)， ¬ R∨P，Q ⇒ R → S

證實 推理過程以下：

 

例2： P → Q ⇒ P → P ∧ Q

證實 推理過程以下：

 

4.2.3間接證實法（反證法、歸謬法）

定義：給出命題公式 H1，H2，…，Hm，
　　若H1∧H2∧ … ∧Hm具備真值爲「T」，則稱命題公式集合{H1，H2，…，Hm} 是一致的。
　　不然稱{H1，H2，…，Hm}是非一致的。

定理：設命題公式集合{H1，H2，…，Hm}是一致的，同時設C是一個命題公式，

　　若是前提集合{H1，H2，…，Hm， ¬ C}是非一致的，則必定有H1，H2，…，Hm ⇒ C 成立。

證 ∵條件{H1，H2，…，Hm， ¬ C}是非一致的，
∴ H1∧H2∧ … ∧Hm ∧ ¬ C一定爲永假式。
而H1∧H2∧ … ∧Hm是一致的，即爲永真式，從而只有¬ C爲永假式，則C 必定爲永真式，
故H1，H2，…，Hm ¬ C成立。

例1 證實： ¬ P ∧ ¬ Q ⇒ ¬ (P ∧ Q)

 

 例2    證實： R → ¬ Q, R∨S , S → ¬ Q, P → Q ⇒ ¬ P

 

討論：由上例可見，間接證實法在結論較爲簡單的條件下，使用是比較方便的，

　　實際上間接證實法也能夠用CP規則代替它。

習題：前提： ¬P→Q;     ¬R ∨ ¬S Q→S;   R
　　　結論：P

 

小結 學習命題邏輯要注意如下幾點：
（1）弄清命題與陳述句的關係。
（2）弄清由5種基本聯結詞聯結的複合命題的邏輯關係及其真值。特別是要弄清蘊含式「P → Q」 的邏輯關係及其真值。
（3）記住經常使用的蘊含式和等價式，這是學好命題邏輯的關鍵問題。
（4）會準確地求出給定公式的主析取範式和主合取範式。掌握主析取範式與真值表、成真賦值、主合取範式的關係。

（5）會用多種方法判斷公式的類型及判斷兩個公式是否等價。
（6）掌握推理和判斷推理是否正確的方法。

 

命題邏輯的應用實例 例如 一位計算機工做者協助公安人員審查一塊兒謀殺案，經調查，他認爲下列狀況均是真的。 (1)會計張某或鄰居王某謀害了廠長。 (2)若是會計張某謀害了廠長，則謀害不可能發生在半夜。 (3)若是鄰居王某的證詞不正確，則在半夜時房裏燈光未滅。 (4)若是鄰居王某的證詞是正確的，則謀害發生在半夜。 (5)在半夜房子裏的燈光滅了，且會計張某曾貪污過。 解：設 P：會計張某謀害了廠長 Q：鄰居王某謀害了廠長 N：謀害發生在半夜 O：鄰居王某的證詞是正確的 R：半夜時房子的燈光滅了 A：會計張某曾貪污過 列出條件公式： (1) P∨Q  (2) P → ¬ N  (3)¬ O → ¬ R (4) O →  N (5) R ∧ A 推導過程爲： 結論：鄰居王某謀害了廠長.   習題 已知：若A有罪，則B、C有罪； 或者A有罪，或者B有罪； 或者B無罪，或者C無罪； 問：誰有罪？ 解 列出條件公式： (1) A → B ∧C (2) A∨B (3) ¬ B ∨ ¬ C 推導過程爲： 結論：B有罪.