命題邏輯(一)

 

命題邏輯

能判斷其真假的陳述句

命題的真值：真T、假F

命題的真值是惟一的

命題分爲：真命題、假命題、原子命題(簡單命題)、複合命題

例如：小張是個大學生，這是一個能判斷真假的陳述句，是命題，可是因爲不知道小張是什麼，因此真值未定

例如：我正在說假話，這不是一個命題，這是一個悖論

例如：2x+5>=10，不等式隨着x的變化而變化，違反命題的真值是惟一的，不是命題

¬ 命題的「非」運算(否認)

∧ 命題的「合取」（「與」,"同時")(合取)

p	q	p∧q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

∨ 命題的「析取」（「或」，「可兼或」）運算(析取)

p	q	p∨q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

→ 命題的「條件」運算（若是...則...）(蘊含詞)

p	q	p→q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

若是前置命題(前件)爲假,結果(後件)全爲真,若是前置爲真,則看後置命題

注意:如"只有p,纔有q",這至關於,這個結果p,只有q才能實現,即,若是q,則p,除非

↔當且僅當(等價詞)

p	q	p↔q
T	T	1
F	T	0
T	F	0
F	F	1

注意：優先級 ¬ > ∧ > ∨ > → > ↔

邏輯符號表

公式類型

重言式：公式真值恆爲1（永真式）

矛盾式：公式真值恆爲0（永假式）

可知足式：不是矛盾式

賦值（指派）

成假賦值：q、p的一組賦值，使得結果爲假

成真賦值：q、p的一組賦值，使得結果爲真

例：

q	p	r	(¬p∧q)→¬r
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

其中成假賦值爲：001

其他的均爲成真賦值

等值式

若A↔B爲永真式，則稱A，B是等值的。記做A⇔B，稱A⇔B爲等值式

注意：有些地方這裏用的符號不是⇔，而是=，↔這些。

常見等價式

1. 雙否律 ¬¬A⇔A
2. 冪等律 A∧A⇔A A∨A⇔A
3. 交換律 A∧B⇔B∧A A∨B=B∨A
4. 結合律 A∧(B∧C)=(A∧B)∧C A∨(B∨C)=(A∨B)∨C
5. 分配律 A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C) A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)
6. 德摩根律 ¬(A∧B) =¬A∨¬ B ¬(A∨B) =¬A∧¬ B
7. 吸取律 A∨(A∨B) = A A∧(A∧B)=A
8. 零律 A∧0=0 A∨1=1
9. 同一概 A∧1=A A∨0=A
10. 排中律 A∨¬A=1
11. 矛盾律 A∧¬A=0
12. 蘊含等值式 A→B=¬A∨B
13. 等價等值式 A↔B=(A→B)∧(B→A)
14. 假言易位 A→B=¬B→¬A
15. 等價否認 A↔B=¬A↔¬B
16. 歸謬論 (A→B)∧(A→¬B)=¬A

命題常元(常量) 如:p是雪白色的

命題變元 如:P:

析取範式、合取範式

p爲任意命題變量，則p和¬p稱爲文字

有限個文字的析取稱爲析取式

有限個文字的合取稱爲合取式

有限個合取式的析取稱爲析取範式

有限個析取式的合取稱爲合取範式

主析取範式、主合取範式

公式	成真賦值	名稱
¬p∧¬q	00	m0
¬p∧q	01	m1
p∧¬q	10	m2
p∧q	11	m3

含n個命題變元的合取式G(p1,p2,...,pn)，若每一個pi和¬pi出現且僅出現一次，而且出現次序與p1,p2,...,pn的次序保持一直，稱該G(p1,p2,...,pn)爲一個小項(最小項)。

對析取範式A1∨A2∨A3∨...∨An,若其中每一個合取式Ai(i=1,2,3,...,n)都是小項，則稱該析取範式爲主析取範式。

公式	成假賦值	名稱
p∨q	00	M0
p∨¬q	01	M1
¬p∨q	10	M2
¬p∨¬q	11	M3

含n個命題邊緣的析取式G(p1,p2,p3,...,pn)，若pi和¬pi出現且僅出現一次，並且出現次序和p1,p2,...,pn的次序保持一致，則稱該G(p1,p2,...,pn)爲一個大項(極大項)

對合取範式A1∧A2∧...∧An，若其中每一個析取式Ai(i=1,2,...,n)都是大項，則稱該合取範式爲主合取範式。

聯結詞的完備集

S是一個聯結詞集合，若任一個命題公式均可以由S中的聯結詞表示出來命題公式與之等價，則稱S是一個聯結詞完備集。

例如：將P→Q分別化爲S1={¬,∧}，S2={¬,∨}，S3={↑}，S4={↓}上的公式。

P→Q=¬P∨Q..............是S2上的公式

=¬¬(¬P∨Q)=¬(P∧¬Q)...............是S1上的公式

=P↑¬Q=P↑(¬Q∨¬Q)=P↑¬(Q∧Q)=P↑(Q↑Q)............是S3上的公式

P→Q=¬P∨Q=¬¬(¬P∨Q)=¬(¬P↓Q)=¬(P↓P↓Q)=(P↓P↓Q)↓(P↓P↓Q)............是S4上的公式