現金找零方式的總數（sicp）

問題：現有現金a，而且有n種面額的零錢，問，共有多少種找零方式。
問題細化：現有現金1元，而且有50分，25分，10分，5分，1分五種面額，用這5種零錢組成1元，共有多少種方式？

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若是把n種零錢按照某種順序排列（如50分，25分，10分，5分，1分，不必定升序或降序，也能夠亂序），那麼問題能夠轉化爲：
現金a用除第一種零錢以外其餘面額的找零方式數目
加上
現金a-d用全部面額的找零方式數目，其中d爲第一種零錢的面額

爲何？什麼邏輯？有點暈，看不懂？不要緊接着往下看。

上面的邏輯等同於
使用第一種零錢的次數爲0次，現金a找零方式數目
加上
使用第一種零錢的次數爲>=1次，現金a找零方式數目
若是減去1個第一種零錢，那麼等價於"使用第一種零錢的次數爲>=0次，現金a-d找零方式數目"，亦即"現金a-d用全部面額的找零方式數目，其中d爲第一種零錢的面額"

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弄明白上面的邏輯，就看例子吧：以50分，25分，10分，5分，1分爲序列，現金額度爲1元，則找零方式總數
等於

1元徹底不用50分 + 50分用50，25，10，5，1分//如今第一種零錢爲50分

等於

1元徹底不用50分 + (50分徹底不用50分 + 0分用50，25，10，5，1分)//如今第一種零錢爲50分

等於

1元用25，10，5，1分 + 50分用25，10，5，1分
//"徹底不用50分"等價於"用25，10，5，1分"，「0分用50，25，10，5，1分」是0

等於

(1元徹底不用25分 + 75分用25，10，5，1分)// 如今硬幣總數只有4種,第一種是25分
+
(50分徹底不用25分 + 25分用25，10，5，1分)// 如今硬幣總數只有4種,第一種是25分

等於

(1元徹底不用25分 + (75分徹底不用25分 + 50分用25，10，5，1分))// 如今硬幣總數只有4種,第一種是25分
+
(50分徹底不用25分 + (25分徹底不用25分 + 0分用25，10，5，1分))// 如今硬幣總數只有4種,第一種是25分

。。。。一直循環下去

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代碼實現（js）

const kindsOfCoins = [1, 5, 10, 25, 50];

/**
 * 若是amount正好爲0
 * 現金amount，用kinds種硬幣的找零方式總數，
 * 等於現金amount，用除了第一種硬幣以外其餘硬幣的找零方式總數 + 現金amount - d用全部硬幣的找零方式總數（d爲第一種硬幣的面值）
 * amount爲0，說明前一步amount-firstCoins正好爲0，好比25-25，是1種找零方式，return 1
 * amount<0，說明前一步amount-firstCoins相似於10-25，不是找零方式，return 0
 * kinds===0，說明沒有找零的硬幣了，return 0
 * 
 * @param amount 總金額
 * @param kinds  硬幣種類數
 * @returns {*}
 */
function countChange(amount, kinds) {
    const restKindsOfCoins = kindsOfCoins.slice(0, kinds);
    const firstCoins = restKindsOfCoins[kinds - 1];
    if (amount === 0) return 1;
    if (amount < 0) return 0;
    if (kinds === 0) return 0;
    return countChange(amount, kinds - 1) + countChange(amount - firstCoins, kinds);
}

console.log(countChange(100, 5));// 292

注意，若是const kindsOfCoins = [1, 5, 10, 25, 50];改成const kindsOfCoins = [50, 10, 5, 1, 25];得出的結果是同樣的，也就是說零錢的隨便怎麼排序均可以。