0-1揹包問題

題目：有N件物品和一個容積爲M的揹包。第i件物品的體積w[i]，價值是d[i]。

求解將哪些物品裝入揹包可以使價值總和最大。每種物品只有一件，能夠選擇放或者不放（N<=3500，M<=13000）。

 分析：

用F[i][j]表示取前i種物品，使它們整體積不超過j的最優取法取得的價值總和。要求F[N][M]

邊界：

if(w[1]<=j)

    F[1][j] = d[1];

else

    F[1][j] = 0;

 遞推：F[i][j] = max(F[i-1][j],F[i-1][j-w[i]]+d[i])

取或不取第i種物品，二者選優 (j-w[i]>=0纔有第二項)

本題如用記憶型遞歸，須要一個很大的二維數組，會超內存。注意到這個二維數組的下一行的值，只用到了上一行的正上方及左邊的值，所以可用滾動數組的思想，只要一行便可。便可以用一維數組，用「人人爲我」遞推型動歸實現。

代碼：

#include "stdafx.h"
#include <iostream>

using namespace std;

int dp[20000],w[20000],d[20000];

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int n,v;
    while(cin>>n>>v){
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<n;i++){
            cin>>w[i]>>d[i];
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=v;j>=w[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+d[i]);
            }
        }
        cout<<dp[v]<<endl;
    }
    return 0;
}