揹包問題（1）-------01揹包

首先，我也是才曉得01揹包，之前以爲是個比較高升的問題，可是如今就感受還好，難度較小，理解起來比較容易，是揹包問題中最簡單的問題，多說無益，先來看一看，01揹包的概念

01揹包是在M件物品取出若干件放在空間爲W的揹包裏，每件物品的體積爲W1，W2至Wn，與之相對應的價值爲P1,P2至Pn。01揹包是揹包問題中最簡單的問題。01揹包的約束條件是給定幾種物品，每種物品有且只有一個，而且有權值和體積兩個屬性。在01揹包問題中，由於每種物品只有一個，對於每一個物品只須要考慮選與不選兩種狀況。若是不選擇將其放入揹包中，則不須要處理。若是選擇將其放入揹包中，因爲不清楚以前放入的物品佔據了多大的空間，須要枚舉將這個物品放入揹包後可能佔據揹包空間的全部狀況，時間較慢，因此很少用。

01揹包題目的雛形是：

有N件物品和一個容量爲V的揹包。第i件物品的體積是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可以使價值總和最大。

從這個題目中能夠看出，01揹包的特色就是：每種物品僅有一件，能夠選擇放或不放。

其狀態轉移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

對於這方方程其實並不難理解，方程之中，如今須要放置的是第i件物品，這件物品的體積是c[i],價值是w[i],所以f[i-1][v]表明的就是不將這件物品放入揹包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]則是表明將第i件放入揹包以後的總價值，比較二者的價值，得出最大的價值存入如今的揹包之中。

理解了這個方程後，將方程代入實際題目的應用之中，可得

for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = v; j >= c[i]; j--)//循環嵌套，保證裝滿爲止
        f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);

可是這個的時間複雜度較大，因此要優化。今天就不說了。

總結一下

01揹包問題是最基本的揹包問題，它包含了揹包問題中設計狀態、方程的最基本思想，另外，別的類型的揹包問題每每也能夠轉換成01揹包問題求解。故必定要仔細體會上面基本思路的得出方法，狀態轉移方程的意義，以及最後怎樣優化的空間複雜度。