如何把揹包問題轉化成動態規劃 01揹包 徹底揹包 多重揹包

如何把揹包問題轉化成動態規劃

緒言

每當有人看到這樣的題目：

有n 種物品（各有一件/都有無限件/有有限件），它們有各自的重量和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具備最大的價值總和？

那我的可能會喊道：

個人媽呀。。。又是揹包【哭】

今天我必定要搞懂揹包！

這我的，是你，也（就）是我。（dalao們好！）

01揹包

這是最基礎的揹包問題

咱們不妨從輸入講起

input

能夠用結構體struct

struct str{ int w; int v; } object[n];

也能夠用數組

int v[n],w[n];

爲表達方便，如下代碼使用數組

solution

這裏用一種我從未見過的表達方式：

　　用dp[i][j]表示以j爲剩餘容量，選擇性的放入前i個物品的最大價值。

初始化：

　　dp[0][j]=dp[i][0]=0;

進入下一步的選擇：

　　對於每個物品，你有兩個選擇：

　　　　容量不足，裝不下它：

　　　　　　此時的價值==前i-1個物品時的價值，即dp[i][j]=dp[i-1][j]

　　　　容量足以裝下它，but不必定能達到當前最優價：

　　　　　　在選與不選中選擇一個最優的，即dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]};

　　　　　　其中dp[i-1][j]爲不裝狀況，dp[i-1][j-w[i]]+v[i]爲裝的狀況

這就是遞推式了

dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]};

Code