動態規劃——揹包問題python實現（01揹包、徹底揹包、多重揹包）

目錄

• 01揹包問題
• 徹底揹包問題
• 多重揹包問題

參考：

揹包九講——嗶哩嗶哩

揹包九講

---

01揹包問題

01揹包問題

描述：

有N件物品和一個容量爲V的揹包。

第i件物品的體積是vi，價值是wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可以使這些物品的整體積不超過揹包流量，且總價值最大。

二維動態規劃

f[i][j] 表示只看前i個物品，整體積是j的狀況下，總價值最大是多少。 result = max(f[n][0~V]) f[i][j]:

• 不選第i個物品：f[i][j] = f[i-1][j];

• 選第i個物品：f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i]（v[i]是第i個物品的體積） 二者之間取最大。 初始化：f[0][0] = 0 （啥都不選的狀況，無論容量是多少，都是0？）

代碼以下：

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

# 初始化，先所有賦值爲0，這樣至少體積爲0或者不選任何物品的時候是知足要求  
dp = [[0 for i in range(v+1)] for j in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    for j in range(1,v+1):
        dp[i][j] = dp[i-1][j]  # 第i個物品不選
        if j>=goods[i-1][0]:# 判斷揹包容量是否是大於第i件物品的體積
            # 在選和不選的狀況中選出最大值
            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1][0]]+goods[i-1][1])


print(dp[-1][-1])

一維動態優化

從上面二維的狀況來看，f[i] 只與f[i-1]相關，所以只用使用一個一維數組[0~v]來存儲前一個狀態。那麼如何來實現呢？

第一個問題：狀態轉移

假設dp數組存儲了上一個狀態，那麼應該有：

dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])

max函數裏面的dp[i]表明的是上一個狀態的值。

第二個問題：初始化

這裏開始初始化一個長度爲V+1一維數組，選取0個物品時，體積爲0~V時的最大價值（值所有爲0）。

第三個問題：遞推關係

試想一下，我要保證求取第i個狀態時，用到一維數組中的值是第i-1個狀態的。若是，我從前日後推，那麼當我遍歷到後面時，我用到的狀態就是第i個狀態而不是第i-1個狀態。好比：

dp[i] = max(dp[i] , dp[i-v[i]]+w[i])

這裏的dp[i-v[i]]是已經從新賦值的，而不是上一個狀態的值，因此這樣是錯誤的。所以，咱們要從後往前推。

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

dp = [0 for i in range(v+1)]

for i in range(n):
    for j in range(v,-1,-1): # 從後往前
        if j >= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-goods[i][0]] + goods[i][1])

print(dp[-1])

肯定體積的狀況

若是我要求的不是儘量最大的價值，而是恰好等於揹包容量的最大價值，那麼該如何去作呢？

---

徹底揹包問題

徹底揹包問題

描述：

有N件物品和一個容量爲V的揹包，每件物品都有無限個！。

第i件物品的體積是vi，價值是wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可以使這些物品的整體積不超過揹包流量，且總價值最大。

一維動態規劃

徹底揹包問題跟01揹包問題最大的區別就是每個物品能夠選無數次，所以當咱們考慮到第i個物品時，咱們應該考慮的狀況是：不選這個物品、選一次這個物品、選兩次這個物品......，直到不能再選（選的次數k，k*v[i] > j，j爲當前揹包容量），而後再從這些狀況中選最大的。代碼以下：

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])
dp = [0 for i in range(v+1)]
for i in range(n):
    for j in range(v,-1,-1): # 從後往前
        k = j//goods[i][0]  # 能選多少次
        # 從這些次裏面取最大
        dp[j] = max([dp[j- x* goods[i][0]] + x * goods[i][1] for x in range(k+1)])

print(dp[-1])

一維動態規劃（優化）

剛剛那個問題，咱們是延續01揹包的問題，從後往前遞推。可是對於這個問題，其實能夠經過從前日後遞推。如何理解呢？

假設在考慮第i個物品時的兩個狀態：

A：dp[k*v[i] + x]

B：dp[(k-1)*v[i] + x]

根據前面的概括，從前一個狀態遞推過來：

• 要求A的值，應該要從k+1個狀態中選出最大的：

  dp[x] + k*w[i]
  dp[v[i] + x] + (k-1)*w[i]
  dp[2*v[i] + x] + (k-2)*w[i]
  ...
  ...
  dp[(k-1)*v[i] + x] + w[i]
  dp[k*v[i] + x

• 要求B的值，應該要從k個狀態中選出最大的：

  dp[x] + (k-1)*w[i]
  dp[v[i] + x] + (k-2)*w[i]
  dp[2*v[i] + x] + (k-3)*w[i]
  ...
  ...
  dp[(k-2)*v[i] + x] + w[i]
  dp[(k-1)*v[i] + x

咱們能夠看到，一一對應過來的話，這兩個狀態實際上只差一個w[i]的值。所以：

一方面咱們能夠根據前一個狀態（i-1）推出此時的狀態，另外一方面因爲當前狀態前面的值也是當前問題的子問題，所以咱們也能夠從前面的值推到後面的值。

從前日後遞推的代碼以下：

n, v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])
dp = [0 for i in range(v+1)]
for i in range(n):
    for j in range(v+1):
        if j >= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-goods[i][0]] + goods[i][1])

print(dp[-1])

---

多重揹包問題

多重揹包問題

描述：

有N件物品和一個容量爲V的揹包。

第i件物品的體積是vi，價值是wi，數量是si。

求解將哪些物品裝入揹包，可以使這些物品的整體積不超過揹包流量，且總價值最大。

一維動態規劃

其實跟上面的徹底揹包問題相似，只不過咱們從後往前遞推的時候，物體i選取的次數應該要從新考慮下：

k = min(s[i], j//v[i]), j爲當前的揹包容量

代碼以下：

n,v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

dp = [0 for i in range(v+1)]

for i in range(n):
    for j in range(v, -1, -1):
        # 考慮兩種狀況的最小值
        k = min(j//goods[i][0], goods[i][2])
        dp[j] = max([dp[j-x*goods[i][0]] + x*goods[i][1] for x in range(k+1)])

print(dp[-1])

一維動態規劃（轉換01揹包）

想法很簡單，直接把揹包中的物品展開，展成不少數量爲1的物品，這樣就轉換爲01揹包問題。代碼以下：

n,v = map(int, input().split())
goods = []
for i in range(n):
    goods.append([int(i) for i in input().split()])

new_goods = []

# 展開
for i in range(n):
    for j in range(goods[i][2]):
        new_goods.append(goods[i][0:2])

goods = new_goods
n = len(goods)

# 01揹包問題
dp = [0 for i in range(v+1)]

for i in range(n):
    for j in range(v,-1,-1):
        if j>= goods[i][0]:
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - goods[i][0]] + goods[i][1])

print(dp[-1])