一個數學分析定理在點集拓撲中的推廣

張祖錦，張程榮，陳媛，胡燕玲.一個數學分析定理在點集拓撲中的推廣^*[J].贛南師範大學學報.2018,(3).

http://gnsy.chinajournal.net.cn/WKE/WebPublication/paperDigest.aspx?paperID=2cbc7cf9-73ed-439a-9f5f-5216ccd1d151#

 

一個數學分析定理在點集拓撲中的推廣

 

張祖錦, 張程榮, 陳媛, 胡燕玲

 

(贛南師範大學數學與計算機科學學院, 江西 贛州 341000)

 

基金項目: 國家天然科學基金 (11501125, 11761009); 江西省天然科學基金 (20171BAB201004)

 

做者簡介: 張祖錦 (1987-), 男, 江西興國人, 贛南師範大學數學與計算機科學學院副教授, 博士, 研究方向: 偏微分方程與幾何; 張程榮, 陳媛, 胡燕玲, 贛南師範大學數學與計算機科學學院 2015 級數學與應用數學專業本科生.

 

摘要: 實數空間到實數空間的兩個連續映射, 若是在有理數集上相等, 則恆等. 上述定理可推廣到適當的拓撲空間之間的連續映射.

 

關鍵詞: 連續映射, 稠密子集, 拓撲空間

 

1. 引言

 

熟知有理數集 $\bbQ$ 在實數集 $\bbR$ 中稠密. 利用這一性質和連續函數的定義, 咱們有以下熟知的引理.

 

引理 1. 設 $f,g:\bbR\to\bbR$ 連續, 且 $f(r)=g(r),\ \forall\ r\in\bbQ$, 則 $f\equiv g$.

 

證實: 由 $\bbQ$ 在 $\bbR$ 中的稠密性, 咱們知道對 $\forall\ x\in\bbR$, 存在有理數列 $\sed{r_n}$, 使得 $\dps{\vlm{n}r_n=x}$. 由 $f,g$ 的連續性即知 $$\hj{ f(x)=f\sex{\vlm{n}r_n} =\vlm{n}f(r_n) =\vlm{n}g(r_n)=g\sex{\vlm{n}r_n}=g(x). }$$ 所以, $f$ 與 $g$ 恆等.

 

上述定理在數學分析中起着重要的做用, 好比 [1] 第 2.4 節求解知足特定函數方程的連續函數時, 就是先求該函數在有理點的值, 從而知道該函數在任一實數上的值. 這就肯定了該連續函數.

 

一個天然的問題就是: 對通常的拓撲空間 $X,Y$, $D\subset X$ 在 $X$ 中稠密, $f,g: X\to Y$ 是連續映射. $f(d)=g(d),\ \forall\ d\in D$ 可否推出 $f$ 與 $g$ 恆等?

 

咱們將證實若是 $X$ 是 $A_1$ 空間或者 $Y$ 是 $T_2$ 空間, 則結論成立.

 

定理 1. 設 $X,Y$ 是拓撲空間, $D$ 是 $X$ 的稠密子集, 也即 $\bar D=X$. 再設 $f,g:X\to Y$ 都是連續映射, $f(d)=g(d),\ \forall\ d\in D$. 若是 $X$ 是 $A_1$ 空間, 則 $f\equiv g$.

 

定理 2. 設 $X,Y$ 是拓撲空間, $D$ 是 $X$ 的稠密子集, 也即 $\bar D=X$. 再設 $f,g:X\to Y$ 都是連續映射, $f(d)=g(d),\ \forall\ d\in D$. 若是 $Y$ 是 $T_2$ 空間, 則 $f\equiv g$.

 

註記. 當 $Y$ 是度量空間時, 定理 2 就是 [2] 定理 5.2.1.

 

咱們將在第 2 節和第 3 節分別證實定理 1 和定理 2. 在此以前, 咱們先回憶如下概念及性質 (參見 [2] 第1、2、5、六章).

 

設 $X$ 是一個集合, $\scrT$ 是 $X$ 的子集族, 若是 $\vno,X\in \scrT$, $\scrT$ 對有限交和任意並封閉, 則稱 $\scrT$ 是 $X$ 上的一個拓撲. $X$ 賦以 $\scrT$ 後稱爲拓撲空間. 對 $x\in X$, $U\subset X$, 若 $\exists\ O\in\scrT$, 使得 $x\in O\subset U$, 則稱 $U$ 是 $x$ 的一個鄰域. $x$ 處的全部鄰域構成的集族記做 $\scrU_x$. 若 $\scrU_x$ 的一個子族 $\scrV_x$ 知足 $\forall\ U\in\scrU_x,\ \exists\ V\in\scrV_x,\st x\in V\subset U$, 則稱 $\scrV_x$ 是 $x$ 處的一個鄰域基. 對 $x\in X$, $A\subset X$, 若對 $x$ 的任一鄰域 $U$, 都有 $U\cap (A\bs \sed{x})\neq \vno$, 則稱 $x$ 是 $A$ 的凝聚點. $A$ 的凝聚點全體和 $A$ 的並集稱爲 $A$ 的閉包, 記做 $\bar A$. 這樣, $x\in \bar A$ 當且僅當對 $x$ 的任一鄰域 $U$, 都有 $U\cap A\neq \vno$.

 

設 $X,Y$ 都是拓撲空間, 它們的拓撲分別記爲 $\scrT_X$, $\scrT_Y$, $f:X\to Y$ 是一個映射. 若對 $\forall\ O\in \scrT_Y$, 都有 $f^{-1}(O)\in\scrT_X$, 則稱 $f:X\to Y$ 是連續映射. 對 $x\in X$, 若對 $\forall\ U\in\scrU_{f(x)}$, 都有 $f^{-1}(U)\in\scrU_x$, 則稱 $f$ 在 $x$ 處連續. $f:X\to Y$ 連續當且僅當 $f$ 在任一 $x\in X$ 處連續.

 

設 $A$ 是一個集合, 若 $A$ 與正整數集之間存在一個一一映射, 則稱 $A$ 是可數集.

 

有了上面的準備, 咱們能夠定義 $A_1$ 空間 (知足第一可數性公理的空間) 和 $T_2$ 空間 (Hausdorff 空間). 設 $X$ 是拓撲空間, 若 $\forall\ x\in X$, $x$ 處都有一個可數的鄰域基, 則稱 $X$ 是 $A_1$ 空間. 若對 $\forall\ x,y\in X$, $x\neq y$, 都存在 $U\in\scrU_x,\ V\in\scrU_x$, 使得 $U\cap V=\vno$, 則稱 $X$ 是 $T_2$ 空間. 2.

 

2. 定理 1 的證實

 

本節, 咱們給出定理 1 的證實. 咱們要利用以下兩個結論.

 

引理 2. ([2] 定理 5.1.10) 設 $X$ 是一個知足第一可數性公理的空間, $A\subset X$. 則點 $x\in X$ 是集合 $A$ 的一個凝聚點的充分必要條件是在集合 $A\bs \sed{x}$ 中有一個序列收斂於 $x$.

 

相似於引理 2 的證實, 注意到 $x\in \bar A\lra x$ 的任一鄰域 $U$, $U\cap A\neq \vno$, 咱們有

 

引理 3. 設 $X$ 是一個知足第一可數性公理的空間, $A\subset X$. 則點 $x\in \bar A$ 的充分必要條件是在集合 $A$ 中有一個序列收斂於 $x$. 在 $A_1$ 空間中, 咱們有相似於數學分析中歸結原理的以下結果.

 

引理 4. ([2] 定理 5.1.11) 設 $X$ 和 $Y$ 是兩個拓撲空間, 其中 $X$ 知足第一可數性公理, $x\in X$, 則映射 $f:\ X\to Y$ 在點 $x\in X$ 處連續的充分必要條件是: 若是 $X$ 中的序列 $\sed{x_n}$ 收斂於 $x$, 則 $Y$ 中的序列 $\sed{f(x_n)}$ 收斂於 $f(x)$. 有了以上引理, 咱們如今能夠證實定理 1. 由 $\bar D=X$ 及引理 3 知 $$\hj{ x\in X&\lra x\in \bar D\\ &\lra \exists\ d_n\in D,\st \vlm{n}d_n=x. }$$ 由於 $f$ 與 $g$ 在 $D$ 上相等, 而 $f(d_n)=g(d_n)$. 由 $f$ 的連續性及引理 4, 咱們知 $$\hj{ f(x)=\vlm{n}f(d_n)=\vlm{n}g(d_n)=g(x). }$$ 這就證實了 $f$ 與 $g$ 恆等.

 

3. 定理 2 的證實

 

本節, 咱們給出定理 2 的證實. 咱們採用反證法. 若 $f$ 與 $g$ 不恆等, 則 $\exists\ x\in X$, 使得 $f(x)\neq g(x)$. 因 $Y$ 是 $T_2$ 空間, 而 $\exists\ U\in\scrU_{f(x)}$, $V\in\scrU_{g(x)}$, 使得 $U\cap V=\vno$. 由於 $f,g$ 都連續, 咱們知 $f^{-1}(U)\in\scrU_x$, $g^{-1}(V)\in\scrU_x$. 由鄰域系的性質即知 $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\in\scrU_x$. 再由 $\bar D=X$, 咱們獲得 $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\cap D\neq \vno$. 設 $d$ 爲 $f^{-1}(U)\cap g^{-1}(V)\cap D$ 的一個元素, 則 $d\in f^{-1}(U)\ra f(d)\in U$; $d\in g^{-1}(V)\ra g(d)\in V$; $d\in D\ra f(d)=g(d)$. 這樣, $f(d)=g(d)\in U\cap V$. 這與 $U\cap V=\vno$ 矛盾. 故有結論.

 

參考文獻

[1] 裴禮文編.數學分析中的典型問題與方法 第2版[M].北京：高等教育出版社.2006: 174-183.

[2] 熊金城編.點集拓撲講義[M].北京：高等教育出版社.2011.

 

Generalization of a theorem in mathematical analysis to point set topology

 

ZHANG Zujin, ZHANG Chengrong, Chen Yuan, Hu Yanling

 

(School of Mathematics and Computer Science, Gannan Normal University, Ganzhou 341000, China)

 

Abstract: For two real functions, if they are identical on the rational numbers, then they are equal. This can be extended to the continuous map between general topological spaces. Keywords: continuous map, dense subset, topological space