拓撲學中凝聚點的幾個等價定義

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張祖錦, 楊蘭萍, 李文鑫. 拓撲學中凝聚點的幾個等價定義[J]. 贛南師範大學學報, 2017, 38 (03) : 6—7.

拓撲學中凝聚點的幾個等價定義

Several equivalent definitions of accumulation points

張祖錦

Zujin Zhang

贛南師範大學數學與計算機科學學院

School of Mathematics and Computer Sciences, Gannan Normal University

(86) 07978393663

[email]zhangzujin361@163.com[/email]

摘要: 本文回憶了拓撲學中的在 $A_1$ 或 $T_1$ 空間中凝聚點的等價定義, 並給出了在 $A_1$ 且 $T_1$ 空間中凝聚點的又一個等價定義.

Abstract: In this paper, we first recall equivalent definitions of accumulation points in $A_1$ or $T_1$ spaces, then formulate a new equivalent definition in $A_1$ and $T_1$ spaces.

1. 介紹

在實分析中, 凝聚點是一個很重要的概念. 好比討論區域 $D\subset \bbR^2$ 上二元函數 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)\in\bbR^2$ 處的極限時, 首先必須假設 $(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的凝聚點 (參考 [2] 第 93 頁). 書 [2] 第 163 頁給出了凝聚點的三個等價定義. 咱們敘述以下: 設 $E\subset \bbR^n$, $x_0\in\bbR^n$, 則如下論述等價:

(1) $x_0$ 的任一鄰域內, 至少含有一個屬於 $E$ 而異於 $x_0$ 點;

(2) $x_0$ 的任一鄰域內都含有無窮多個屬於 $E$ 的點;
(3) 存在 $E$ 中互異的點列 $x_n\to x_0$.

以上三個論述的等價性依賴於 $\bbR^n$ 的特殊結構. 在通常的拓撲空間中, 已再也不成立. 設 $X$ 是一個集合, $\scrT$ 是 $X$ 的子集族, 若知足

(1) $\vno,X\in\scrT$;
(2) $A,B\in\scrT\ra A\cap B\in\scrT$;
(3) $\scrT_1\subset \scrT\ra \cup_{A\in\scrT_1}A\in\scrT$,

則稱 $\scrT$ 是 $X$ 上的一個拓撲, $(X,\scrT)$ 是一個拓撲空間, $\scrT$ 中的元稱爲開集. 在拓撲空間 $(X,\scrT)$ 中, 咱們能夠定義鄰域的概念. 設 $x_0\in X$, $U\subset X$, 若 $\exists\ O\in \scrT,\st x_0\in O\subset U$, 則稱 $U$ 是 $x_0$ 的一個鄰域. 記 $\scrU_{x_0}=\sed{U;\ U\mbox{ 是 }x_0\mbox{ 的鄰域}}$. 有了鄰域的概念後, 咱們就能夠定義凝聚點的概念. 若 $\forall\ U\in\scrU_{x_0},\ U\cap (A\bs \sed{x_0})\neq \vno$, 則稱 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚點. 由 [3] 定理 5.1.10 知在 $A_1$ 空間中, $x_0$ 是 $E$ 的聚點當且僅當 $\exists\ A\bs \sed{x}\ni x_n\to x_0$. 由 [3] 定理 6.1.3 知在 $T_1$ 空間中, $x_0$ 是 $E$ 的凝聚點當且僅當 $\forall\ U\in \scrU_{x_0},\ U\cap E$ 是無限集. 這兩個等價定義直觀是容易理解的. 事實上, $A_1$ 空間中每一個點處都有一個可數鄰域基, 而有一個遞減的可數鄰域基, 這個`` 可數''就跟可數點列有天然的關係; $T_1$ 空間中有限點集是閉集, 這個``有限'' 就和無限有天然的聯繫.

一個天然的問題就是: 在什麼樣的拓撲空間中, $x_0$ 是 $E$ 的凝聚點當且僅當存在 $E$ 中互異點列 $x_n\to x_0$? 咱們發現只要拓撲空間是 $A_1$ 且 $T_1$ 的, 則上述問題成立, 見下文的主要定理.

2. 主要定理及證實

定理 1. 設拓撲空間 $(X,\scrT)$ 是 $A_1$ 空間, 也是 $T_1$ 空間, 則 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚點當且僅當存在 $E$ 中互異點列 $x_n\to x_0$.

證實. $\la$: 設存在 $E$ 中互異點列 $x_n\to x_0$, 則由點列 $\sed{x_n}$ 互異知該點列至多隻有一個 (不妨設爲 $x_{n_0}$) 和 $x_0$ 重合, 而 $\sed{x_n}_{n=n_0+1}^\infty$ 就是 $E\bs\sed{x_0}$ 中的點列, 極限爲 $x_0$. 由 $A_1$ 空間中凝聚點的刻畫 ([3] 定理 ) 即知 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚點.

$\ra$: 若 $x_0$ 是 $E$ 的凝聚點, 則由 $X$ 是 $A_1$ 空間知 $x_0$ 處有一個可數鄰域基 $\sed{U_n}_{n=1}^\infty$. 令 $V_n=U_1\cap \cdots U_n$ 後容易知道 $\sed{V_n}_{n=1}^\infty$ 是 $x_0$ 處的一個遞減可數鄰域基. 往遞推給出 $E$ 中互異點列 $x_n\to x_0$. 由 $x_0$
是 $E$ 的凝凝聚點知 $V_1\cap (E\bs \sed{x_0})\neq \vno$. 任意取定 $x_1\in V_1\cap (E\bs\sed{x_0})$. 若互異的 $x_1,\cdots,x_n\in V_n\cap (E\bs\sed{x_0})$ 已給定, 則由 $X$ 是 $T_1$ 空間知 $\sed{x_1,\cdots,x_n}$ 是閉集, 而 $V_{n+1}\cap \sed{x_1,\cdots,x_n}^c$ 是開集, 而是 $x_0$ 的一個開鄰域. 由 $x_0$
是 $E$ 的凝凝聚點即知該鄰域與 $E\bs\sed{x_0}$ 有交. 任意取定 $x_{n+1}\in [V_{n+1}\cap \sed{x_1,\cdots,x_n}^c]\cap (E\bs\sed{x_0})$ 便可.

綜上, 咱們證實了存在互異點列 $x_n\in V_n\cap (E\bs \sed{x_0})$. 該 $\sed{x_n}$ 收斂於 $x_0$. 事實上, 對 $\forall\ U\in \scrU_{x_0}$, 由 $\sed{V_n}_{n=1}^\infty$ 是 $x_0$ 處的鄰域基知 $\exists\ V_N\subset U$. 又由 $\sed{V_n}_{n=1}^\infty$ 遞減知 $ x_n\in V_n\subset V_N\subset U.$ 這即代表 $x_n\to x_0$.

註記. 下面兩個例子代表定理中的 $A_1$ 性和 $T_1$ 性缺一不可.

(1) 設 $X$ 是包含有不可數個點的可數補空間, 則由 [3] 例 5.1.1 知 $X$ 不是 $A_1$ 空間, 由 [3] 例 6.1.1 知 $X$ 是 $T_1$ 空間. 容易知道 $\forall\ x\in X$, $x$ 都是 $X$ 的凝聚點. 咱們能夠用反證法來證實. 若 $\exists\ x_0\in X$, 不是 $X$ 的凝聚點, 則 $\exists\ U\in \scrU_x,\st U\cap (X\bs \sed{x})=\vno\ra X\bs \sed{x}\subset U^c.$ 但 $X\bs\sed{x}$ 是不可數集, $U$ 包含着一個開集, 而 $U^c$ 是有限集. 這是一個矛盾.

任取 $x\in X$, 由上論述知 $x$ 是 $X$ 的凝聚點, 但不存在 $X$ 中互異的點列 $\sed{x_n}$ 的極限爲 $x$. 這也能夠利用反證法來證實. 若 $X$ 中存在互異點列 $\sed{x_n}$ 的極限爲 $x$, 由 [3] 例 2.7.1 即知 $\exists\ N,\st n\geq N\ra x_n=x$. 這與 $\sed{x_n}$ 的互異性矛盾.

(2) 設 $X=\sed{0,1}$, $\scrT=\sed{\vno,\sed{0},X}$, 則 $(X,\scrT)$ 不是 $T_1$ 空間, 可是 $A_1$ 空間. 容易看出 $1$ 是 $\sed{0}$ 的凝聚點. 但顯然 $\sed{0}$
中沒有互異點列的極限爲 $1$.

參考文獻

[1] 華東師範大學數學系, 數學分析 (第三版) 上冊, 高等教育出版社, 2010 年.

[2] 華東師範大學數學系, 數學分析 (第三版) 下冊, 高等教育出版社, 2010 年.

[3] 熊金城, 點集拓撲學講義 (第四版), 高等教育出版社, 2011 年.