博弈論學習筆記（四）足球比賽與商業合做之最佳對策

點球案例

在一次足球比賽罰點球時，罰球隊員能夠選擇L,M,R三種不一樣射門路徑；門將能夠選擇撲向左路或者右路（原則上講他也能夠守在右路）。

	l	r
L	4,-4	9,-9
M	6,-6	6,-6
R	9,-9	4,-4

該表表示各自的收益，其中，Lr對應的9表示當射手射向左路而門將撲向右路時，射手有90%的機率進球，-9表示門將有90%的機率丟球（10%機率射偏）。其餘收益以此類推。
咱們假設門將撲向右路的機率是Pr，那麼門將撲向左路的機率是Pl=1-Pr。
那麼，射手
	選擇左路的預期收益爲 EU1(L,Pr) = Pl*U1(L,l) + Pr*U1(L,l) = (1-Pr)*4 + Pr*9 = 4 + 5*Pr;
	選擇中路的預期收益爲 EU1(M,Pr) = Pl*U1(L,l) + Pr*U1(L,l) = (1-Pr)*6 + Pr*6 = 6;
	選擇右路的預期收益爲 EU1(R,Pr) = Pl*U1(L,l) + Pr*U1(L,l) = (1-Pr)*9 + Pr*4 = 9 - 5*Pr;

結論：從中路射門都不是一個最佳策略；不要選擇在任何信念下都不是最佳策略的策略。

定義：參與者i的對策si是對手的策略s-i的最佳對策，當且僅當對於參與者i的全部其餘策略si'，U1(si,s-i)>=U1(si',s-i)

商業合做案例

兩個參與者都是公司的股東，他們都持有公司的股份而且平分利潤。
si表示第i個股東爲公司付出的精力。i=1,2。
總收益爲4*(s1 + s2 + B*s1*s2)
因此對於每一個參與者，他們可以得到的收益是1/2*4*(s1 + s2 + B*s1*s2) = 2*(s1 + s2 + B*s1*s2)
咱們如今來考慮參與者1，他的付出是s1^2，s因此他的淨收益爲：2*(s1 + s2 + B*s1*s2) - s1^2
爲了讓收益最大，對s1求導得出收益導數爲0的方程：s1 = 1 + B*s2
同理，對於s2，s2 = 1 + B*s1
咱們這裏設B=1/4。S=[1,4]。

這裏看一看到，由於s1的範圍只在1和2之間，因此[0,1]和[3,4]是s1的劣勢策略；
同理，[0,1]和[3,4]是s2的劣勢策略。
因此剔除以後剩下了s1∈[1,2]，s2∈[1,2]這個區間，咱們將其放大四倍，發現了和原來同樣的圖。
而後咱們就能夠接待進行剔除了。
最後獲得的點就是方程組：
	s1 = 1 + B*s2

	s2 = 1 + B*s1

的解。
得出：
	s1 = s2 = 1/(B-1)
(1/(B-1), 1/(B-1))這個點稱爲納什均衡 Nash Equilibrium

這意味着博弈雙方彼此都不想偏離納什均衡點。在納什均衡點處，雙方都採起彼此的最佳對策。