轉：海明糾錯碼

海明碼（Hamming Code）是一個能夠有多個校驗位，具備檢測並糾正一位錯誤代碼的糾錯碼，因此它也僅用於信道特性比較好的環境中，如以太局域網中，由於若是信道特性很差的狀況下，出現的錯誤一般不是一位。

    海明碼的檢錯、糾錯基本思想是將有效信息按某種規律分紅若干組，每組安排一個校驗位進行奇偶性測試，而後產生多位檢測信息，並從中得出具體的出錯位置，最後經過對錯誤位取反（也是原來是1就變成0，原來是0就變成1）來將其糾正。

    要採用海明碼糾錯，須要按如下步驟來進行：計算校驗位數→肯定校驗碼位置→肯定校驗碼→實現校驗和糾錯。下面來具體介紹這幾個步驟。本文先介紹除最後一個步驟的其它幾個步驟。

1.    計算校驗位數

    要使用海明碼糾錯，首先就要肯定發送的數據所須要要的校驗碼（也就是「海明碼」）位數（也稱「校驗碼長度」）。它是這樣的規定的：假設用N表示添加了校驗碼位後整個信息的二進制位數，用K表明其中有效信息位數，r表示添加的校驗碼位，它們之間的關係應知足：N=K＋r≤2^r－1。

    如K=5，則要求2^r-r≥5+1=6，根據計算能夠得知r的最小值爲4，也就是要校驗5位信息碼，則要插入4位校驗碼。若是信息碼是8位，則要求2^r-r≥8+1=9，根據計算能夠得知r的最小值也爲4。根據經驗總結，得出信息碼和校驗碼位數之間的關係如表5-1所示。

表5-1   信息碼位數與校驗碼位數之間的關係

信息碼位數	1	2~4	5~11	12~26	27~57	58~120	121~247
校驗碼位數	2	3	4	5	6	7	8

2．肯定校驗碼位置

    上一步咱們肯定了對應信息中要插入的校驗碼位數，但這還不夠，由於這些校驗碼不是直接附加在信息碼的前面、後面或中間的，而是分開插入到不一樣的位置。但不用擔憂，校驗碼的位置很容易肯定的，那就是校驗碼必須是在2ⁿ次方位置，如第一、二、四、八、1六、32，……位（對應2⁰、2¹、2²、2³、2⁴、2⁵，……，是從最左邊的位數起的），這樣一來就知道了信息碼的分佈位置，也就是非2ⁿ次方位置，如第三、五、六、七、九、十、十一、十二、13，……位（是從最左邊的位數起的）。

    舉一個例子，假設現有一個8位信息碼，即b一、b二、b三、b四、b五、b六、b七、b8，由表5-1得知，它須要插入4位校驗碼，即p一、p二、p三、p4，也就是整個通過編碼後的數據碼（稱之爲「碼字」）共有12位。根據以上介紹的校驗碼位置分佈規則能夠得出，這12位編碼後的數據就是p一、p二、b一、p三、b二、b三、b四、p四、b五、b六、b七、b8。

    現假設原來的8位信息碼爲10011101，因如今尚未求出各位校驗碼值，如今這些校驗碼位都用「？」表示，最終的碼字爲：？？1？001？1101。

3.    肯定校驗碼

通過前面的兩步，咱們已經肯定了所需的校驗碼位數和這些校驗碼的插入位置，但這還不夠，還得肯定各個校驗碼值。這些校驗碼的值不是隨意的，每一個校驗位的值表明了代碼字中部分數據位的奇偶性（最終要根據是採用奇校驗，仍是偶校驗來肯定），其所在位置決定了要校驗的比特位序列。總的原則是：第i位校驗碼從當前位開始，每次連續校驗i（這裏是數值i，不是第i位，下同）位後再跳過i位，而後再連續校驗i位，再跳過i位，以此類推。最後根據所採用的是奇校驗，仍是偶校驗便可得出第i位校驗碼的值。

    1）計算方法

    校驗碼的具體計算方法以下：

    p1（第1個校驗位，也是整個碼字的第1位）的校驗規則是：從當前位數起，校驗1位，而後跳過1位，再校驗1位，再跳過1位，……。這樣就可得出p1校驗碼位能夠校驗的碼字位包括：第1位（也就是p1自己）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。而後根據所採用的是奇校驗，仍是偶校驗，最終能夠肯定該校驗位的值。

    p2（第2個校驗位，也是整個碼字的第2位）的校驗規則是：從當前位數起，連續校驗2位，而後跳過2位，再連續校驗2位，再跳過2位，……。這樣就可得出p2校驗碼位能夠校驗的碼字位包括：第2位（也就是p2自己）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。一樣根據所採用的是奇校驗，仍是偶校驗，最終能夠肯定該校驗位的值。

    p3（第3個校驗位，也是整個碼字的第4位）的校驗規則是：從當前位數起，連續校驗4位，而後跳過4位，再連續校驗4位，再跳過4位，……。這樣就可得出p4校驗碼位能夠校驗的碼字位包括：第4位（也就是p4自己）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。一樣根據所採用的是奇校驗，仍是偶校驗，最終能夠肯定該校驗位的值。

    p4（第4個校驗位，也是整個碼字的第8位）的校驗規則是：從當前位數起，連續校驗8位，而後跳過8位，再連續校驗8位，再跳過8位，……。這樣就可得出p4校驗碼位能夠校驗的碼字位包括：第8位（也就是p4自己）、第9位、第10位、第11位、第12位、第13位、第14位、第15位，第24位、第25位、第26位、第27位、第28位、第29位、第30位、第31位，……。一樣根據所採用的是奇校驗，仍是偶校驗，最終能夠肯定該校驗位的值。

……

    咱們把以上這些校驗碼所校驗的位分紅對應的組，它們在接收端的校驗結果（經過對各校驗位進行邏輯「異或運算」得出）對應表示爲G一、G二、G三、G4，……，正常狀況下均爲0。

    2）校驗碼計算示例

    一樣舉上面的例子來講明，碼字爲？？1？001？1101。

    先求第1個「？」（也就是p1，第1位）的值，由於整個碼字長度爲12（包括信息碼長和校驗碼長），因此能夠得出本示例中p1校驗碼校驗的位數是一、三、五、七、九、11共6位。這6位中除了第1位（也就是p1位）不能肯定外，其他5位的值都是已知的，分別爲：一、0、一、一、0。現假設採用的是偶校驗（也就是要求整個被校驗的位中的「1」的個數爲偶數），從已知的5位碼值可知，已有3個「1」，因此此時p1位校驗碼的值必須爲「1」，得出p1=1。

    再求第2個「？」（也就是p2，第2位）的值，根據以上規則能夠很快得出本示例中p2校驗碼校驗的位數是二、三、六、七、十、11，也是一共6位。這6位中除了第2位（也就是p2位）不能肯定外，其他5位的值都是已知的，分別爲：一、0、一、一、0。現假設採用的是偶校驗，從已知的5位碼值可知，也已有3個「1」，因此此時p2位校驗碼的值必須爲「1」，得出p2=1。

   再求第3個「？」（也就是p3，第4位）的值，根據以上規則能夠很快得出本示例中p3校驗碼校驗的位數是四、五、六、七、12，一共5位。這5位中除了第4位（也就是p3位）不能肯定外，其他4位的值都是已知的，分別爲：0、0、一、1。現假設採用的是偶校驗，從已知的4位碼值可知，也已有2個「1」，因此此時p2位校驗碼的值必須爲「0」，得出p3=0。

   最後求第4個「？」（也就是p4，第8位）的值，根據以上規則能夠很快得出本示例中p4校驗碼校驗的位數是八、九、十、十一、12（原本是能夠連續校驗8位的，但本示例的碼字後面的長度沒有這麼多位，因此只校驗到第12位止），也是一共5位。這5位中除了第8位（也就是p4位）不能肯定外，其他4位的值都是已知的，分別爲：一、一、0、1。現假設採用的是偶校驗，從已知的4位碼值可知，已有3個「1」，因此此時p2位校驗碼的值必須爲「1」，得出p4=1。

    最後就能夠得出整個碼字的各個二進制值碼字爲：111000111101（帶陰影的4位就是校驗碼）。

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