完全理解回溯法的精要

目錄

• 問題分析
  • 使用什麼方法？
  • 什麼是回溯法？
  • 怎麼使用回溯法？
  • 回溯法的具體實施
  • 回溯法的延伸

給定一個沒有重複數字的序列，返回其全部可能的全排列。
示例:

輸入: [1,2,3]
輸出:
[
  [1,2,3],
  [1,3,2],
  [2,1,3],
  [2,3,1],
  [3,1,2],
  [3,2,1]
]

問題分析

使用什麼方法？

全排列很明顯使用回溯法來進行解答

什麼是回溯法？

回溯法（探索與回溯法）是一種選優搜索法，又稱爲試探法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步從新選擇，這種走不通就退回再走的技術爲回溯法，而知足回溯條件的某個狀態的點稱爲「回溯點」。

怎麼使用回溯法？

運用回溯法解題的關鍵要素有如下三點：

1. 針對給定的問題，定義問題的解空間；
2. 肯定易於搜索的解空間結構；

3. 以深度優先方式搜索解空間，而且在搜索過程當中用剪枝函數避免無效搜索。

   什麼是深度優先搜索？

   深度優先搜索（縮寫DFS）有點相似廣度優先搜索，也是對一個連通圖進行遍歷的算法。它的思想是從一個頂點V0開始，沿着一條路一直走到底，若是發現不能到達目標解，那就返回到上一個節點，而後從另外一條路開始走到底，這種儘可能往深處走的概念便是深度優先的概念。

代碼模板是什麼樣子的？

void BackTrace(int t) {
    if(t>n)
        Output(x);
    else
    for(int i = f (n, t); i <= g (n, t); i++ ) {
        x[t] = h(i);
        if(Constraint(t) && Bound (t))
        BackTrace(t+1);
    }
}

其中，t表示遞歸深度，即當前擴展結點在解空間樹中的深度；n用來控制遞歸深度，即解空間樹的高度。當t>n時，算法已搜索到一個葉子結點，此時由函數Output(x)對獲得的可行解x進行記錄或輸出處理

用 f(n, t)和 g(n, t)分別表示在當前擴展結點處未搜索過的子樹的起始編號和終止編號；h(i)表示在當前擴展結點處x[t]的第i個可選值；函數Constraint(t)和 Bound(t)分別表示當前擴展結點處的約束函數和限界函數。若函數Constraint(t)的返回值爲真，則表示當前擴展結點處x[1:t]的取值知足問題的約束條件；不然不知足問題的約束條件。若函數Bound(t)的返回值爲真，則表示在當前擴展結點處x[1:t]的取值還沒有使目標函數越界，還需由BackTrace(t+1)對其相應的子樹作進一步地搜索；不然，在當前擴展結點處x[1:t]的取值已使目標函數越界，可剪去相應的子樹。

回溯法的具體實施

class Solution {
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
      //LeetCode代碼模板  
    }
}

step 1 定義問題的解空間

什麼是解空間？

應用回溯法求解問題時，首先應明肯定義問題的解空間，該解空間應至少包含問題的一個最優解。例如，對於有n種物品的 0-1 揹包問題，其解空間由長度爲n的 0-1 向量組成，該解空間包含了對變量的全部可能的0-1 賦值。當n=3時，其解空間是{ (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
在定義了問題的解空間後，還須要將解空間有效地組織起來，使得回溯法能方便地搜索整個解空間，一般將解空間組織成樹或圖的形式。例如，對於n= 3的0-1 揹包問題，其解空間能夠用一棵徹底二叉樹表示，從樹根到葉子結點的任意一條路徑可表示解空間中的一個元素，如從根結點A到結點J的路徑對應於解空間中的一個元素(1, 0, 1)。

定義本題的解空間

全排列問題，由於輸入數組的長度爲n = nums.length，解空間就是一個森林：

這裏須要一個森林的圖
假設n=4且nums[]={1,2,3,4}則解空間應該是
第一層：1 2 3 4
第二層：12 13 14 /21 23 24/31 32 34
第三層：123 124/132 134/213 214/231 234/241 243/312 314/.....
第四層：略

肯定易於搜索的解空間結構

解空間主要對應的是子集樹和排列樹，依據題意進行選擇。（根據題意畫個圖，就知道了）

什麼是子集樹？？？

子集樹是一個數學學科詞彙，屬於函數類，當所給問題是從n個元素的集合S中找出S知足某種性質的子集時，相應的解空間稱爲子集樹。
當所給問題是從n個元素的集合S中找出S知足某種性質的子集時，相應的解空間稱爲子集樹。例如：n個物品的0-1揹包問題所相應的解空間是一棵子集樹，這類子集樹一般有2^n個葉結點，其結點總數爲(2^(n+1))-1。遍歷子集樹的算法一般需O(2^n)計算時間。

什麼是排列樹？？

當所給問題是肯定n個元素知足某種性質的排列時，相應的解空間樹稱爲排列樹。排列樹一般有n!個葉子節點。所以遍歷排列樹須要O(n!)的計算時間。

上面已經肯定，要將解空間構建成子集樹的形式

step 2 回溯法的精髓

回溯的精髓

退回原狀態
如何回退是回溯的精髓，何時回退
就本題而言，第一躺全排列應該是1->2->3->4 ,當走到最後一步4以後，應該回退一步到1->2->3由於3只有一個分支4，再回退一步到1->2，而後知足了約束函數能夠進行下一步1->2->4;
對於本題，回退到方法在於，標記未被訪問的數組下標，回退則重製標記
所以能夠使用一個visited[]數組，數組的長度爲nums.length，被訪問則對應的下標標記爲true，不然標記爲false；

step 3 回溯函數的設計

void BackTrace(int t)只傳遞一個參數的話顯然是沒法知足本題的，由於本題包含了一下5個須要傳遞的參數：

1. visited[] 數組；
2. t 遞歸深度；
3. List<List<Integer>> output 保存全部解的大容器
4. List<Integer> save 保存解的小容器
5. nums[]原始數據

所以，BackTrace應設計爲：

public static void BackTrace( List<Integer> save, List<List<Integer>> out, boolean visited[], int nums[]) {
        if (save.size() == nums.length) {
            out.add(new ArrayList<>(save));
            return;
        } else
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                if (visited[i]) continue;
                visited[i] = true;
                save.add(nums[i]);
                BackTrace( save, out, visited, nums);
                save.remove(save.size() - 1);
                visited[i] = false;
            }
    }

怎麼寫出這段代碼須要結合前面的內容反覆的思考 =-= 我想了很久才理清楚回溯的思路

回溯法的延伸

子集問題
題目：

給定一組不含重複元素的整數數組 nums，返回該數組全部可能的子集（冪集）。
說明：解集不能包含重複的子集。
示例：
輸入: nums = [1,2,3] 輸出: [ [3],   [1],   [2],   [1,2,3],   [1,3],   [2,3],   [1,2],   [] ]
從上題中咱們能夠得出結論，這仍然是一道須要使用回溯法的題目。

解空間與解空間結構

很明顯這是一個子集數的解空間結構

假設n=3且nums[]={1,2,3}則解空間應該是
第一層：1 2 3
第二層：12 13/21 23/31 32
第三層：123 132/213 231/312 321/

關鍵性問題

1. 經過什麼方法回退？
2. 約束條件是什麼？
3. 去除重複對象

檢測重複

檢測重複首先想到的會是哈希表HashMap.所以每一次添加都應該在添加以前查找，若是找到重複則不存入；

約束條件是什麼

約束條件應該仍是當遍歷到最後一個元素時退出？

經過什麼方法回退？

因爲集合的特殊性。不須要回退；

函數的設計：

public static void BackTrack(int t,int[] nums, List<List<Integer>> out, List<Integer> save) {

        out.add(new ArrayList<>(save));

        for (int i = t; i < nums.length; i++) {

            save.add(nums[i]);

            BackTrack(i+1,nums, out, save);

            save.remove(save.size()-1);
        }
    }