乘法逆元

乘法逆元

定義

對於\(a,p,x \in \mathbb Z\)，若\((a,p)=1\)，且\(ax \equiv 1(mod\;p)\)，則將\(x\)稱做\(a\)在模\(p\)意義下的逆元，記做\(x=a^{-1}\)。

主要性質

\[ bx \equiv b/a(mod\;p) \]

咱們知道，同餘是不知足同除性的（除數與模數互質時除外），所以不能直接對除法進行取模。而這條性質，能夠將除法轉換爲乘法，從而能夠在過程當中取模。

下面給出此性質的證實：
\[ \begin{aligned} &\because ax \equiv 1(mod\;p)\\ &\therefore abx \equiv b(mod\;p)\\ 又&\because (a,p)=1\\ &\therefore bx \equiv b/a(mod\;p) \end{aligned} \]

求法

擴展歐幾里得算法

擴展歐幾里得算法能夠用來求\(ax+by=(a,b)\)這一方程的一組特解，而咱們所要求的是\(ax \equiv 1(mod\;p)\)的解。將原方程進行變形，咱們能夠獲得
\[ \begin{aligned} &\because ax \equiv 1(mod\;p)\\ &\therefore p \mid (ax-1)\\ &\therefore ax-1=-py(y \in \mathbb Z)\\ &\therefore ax+py=1 \end{aligned} \]
故使方程\(ax+py=1\)成立的\(x\)值即爲\(a\)的逆元。

代碼以下：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return;
}

歐拉定理

根據歐拉定理，對於\(a,p \in \mathbb Z\)，若\((a,p)=1\)，則有\(a^{\varphi (p)} \equiv 1(mod\;p)\)，由此可得
\[ a \cdot a^{\varphi(p)-1} \equiv 1(mod\;p) \]
故\(a^{\varphi(p)-1}\)即爲\(a\)的逆元。

費馬小定理

根據費馬小定理，對於\(a,p \in \mathbb Z\)，若\(p\)爲素數，則有\(a^{p} \equiv a(mod\;p)\)，

特別地，當\((a,p)=1\)時，\(a^{p-1} \equiv 1(mod\;p)\)，

由此可得
\[ a \cdot a^{p-2} \equiv 1(mod\;p) \]
故\(a^{p-2}\)即爲\(a\)的逆元。

遞推

對於\(1\le i < p,i \in \mathbb{Z}\)，
\[ \begin{aligned} &設p=ki+t(k,t\in \mathbb{Z},0<t<i)\\ &\therefore k=p/i,t=p\%i,ki+t \equiv 0(mod\;p)\\ &\therefore ki \equiv -t(mod\;p)\\ &\therefore -kt^{-1} \cdot i \equiv 1(mod\;p)\\ \end{aligned} \]
故\(-kt^{-1}\)爲\(i\)的逆元，

由取值範圍能夠獲得若從\(1\)開始遞推，\(t^{-1}\)將比\(i^{-1}\)先進行計算，因此咱們能夠獲得遞推式
\[ i^{-1}= \begin{cases} 1 & \text{i=1}\\ -p/i*(p\%i)^{-1} & \text{1<i<p} \end{cases} \]
代碼以下：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
    inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;