無向網絡節點重要性指標

學自書籍：《網絡科學導論》高等教育出版社

一、引言：

尋找網絡中的關鍵節點是網絡科學的重要研究內容之一。

這一部分就是介紹  無向網絡中節點重要性排序的幾個經常使用指標，包括度值、介數、接近數、k-殼值和特徵向量。  有向網絡中  節點重要性排序的兩個經典算法---HITS算法和PageRank算法都是來自WWW上的網頁排序。

鏈路預測的基本想法就是：兩個節點越是類似，那麼它們之間就越有可能存在連邊，這裏也介紹多種基於節點類似性的預測方法。

 

二、無向網絡節點重要性指標

2.1 度中心性

例如，一套房子的價值首先要看這套房子所在的地段。一樣的在複雜網絡中主要就是取決於 位置。也就是說一個節點的價值首先取決於這個節點在網絡中所處的位置，位置越中心的節點其價值也越大。

度中心性就是一個節點的度越大就意味着這個節點越重要。  （一個包含N個節點的網絡，因此節點最大可能的度值爲N-1，度爲 k_i 的節點的歸一化的度中心性值定義爲：）

2.2 介數中心性

以下圖，從度中心性來看，節點A、B、C都比節點H重要。如今假設有信息或者物質在節點之間沿着連邊流動，對應與網絡中的信息傳播、互聯網中的數據包發送等。若是兩個節點之間存在多條最短路徑，那麼隨機選擇一條最短路徑，通過至關長一段時間後，每對節點間都傳送了許多包，如今問：哪一個節點最繁忙，也就是通過哪一個節點的包數量最多？

這種以通過某個節點的最短路徑的數目刻畫節點重要性的指標就稱爲介數中心性，簡稱介數（BC）

 g_st爲節點s到節點t的最短路徑的數目，n_stⁱ  爲節點s到節點t的 g_st條最短路徑中通過節點i的最短路徑的數目。

Newman給出的歸一化介數：

2.3 接近中心性

對於網絡中的每個節點i，能夠計算該節點到網絡中全部節點的距離的平均值，記爲d_i ，即有：

 其中d_i 是節點i到節點j的距離。這樣，就能夠獲得網絡的評價路徑長度的另外一種計算公式：

 

d_i 在必定程度上反映了節點 i 在網絡中的相對重要性：d_i 的值越小意味着節點 i 更接近其餘節點。咱們把d_i 的倒數定義爲節點i的接近中心性，簡稱接近數，用記號CC_i 來表示：

2.4 k-殼與k-核

粗粒化的節點重要性分類方法， 即k-殼分解方法

1-殼：假設網絡中不存在度爲0的鼓勵節點。若是咱們把度爲1的節點以及這些節點相連的邊去掉，這時網絡中優惠出現一些新的度爲1的節點，咱們繼續把這些節點及其連邊去掉，重複這個操做，直至網絡中再也不有度爲1的節點爲止。這個操做至關於剝去一層殼，咱們就把全部這些被去除的節點以及它們之間的連邊稱爲網絡的1-殼（1-shell)。有時，網絡中度爲0的鼓勵節點也稱爲0-殼。

2-殼：在1-殼的基礎上繼續剝出度爲2的那層殼。     以此類推。

下圖顯示了一個可分解爲三層殼的簡單網絡。

 2.5  特徵向量中心性

基本想法：一個節點的重要性既取決於其鄰居節點的數量（即該節點的度），也取決於其鄰居節點的重要性。記x_i 爲節點i的重要性度量值，則：

其中c爲一比例常數， A=(a_ij )仍然是網絡的鄰接矩陣。記x=[x1,x2....xn]^T ,則上式能夠寫成以下矩陣形式:

 

 上式意味着x是矩陣A與特徵值c^-1對應的特徵向量，故此稱爲特徵向量中心性。