回溯法之N皇后問題

回溯法之N皇后問題

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1. 問題描述

​ 在n*n格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個皇后。按照國際象棋的規則，皇后能夠攻擊與之在同一行或同一列或同一斜線上的旗子。n後問題等價於在n*n格的棋盤上放置n個皇后，任何2個皇后不放在同一行或同一列或同一斜線上。

2. 問題分析（以n=4皇后問題爲例）

​ 有倆種解法，第一種採用解空間爲N(4)叉樹的解法、第二種是採用解空間爲排列數的解法。

2.1. N(4)叉樹的解法

​ 每一個皇后在一行上有四個可選位置。即每一個非葉結點有4個子節點，4叉樹以下：
​

​ 解向量：(x₁,x₂,x₃,......,x_n)
​ 顯約束：任意倆皇后不一樣行。
​ 隱約束：(1) 不一樣列：x_i ≠ x_j (2) 不處於同一正反對角線：|i - j| ≠ |x_i - x_j|

​ 核心代碼：

// 剪枝函數，排除同列和同一對角線的分支
int place1(int k) {
    for (int j = 1; j < k; j++)
        if (abs(k - j) == abs(x[j] - x[k]) || x[j] == x[k])
            return 0;
    return 1;
}

// t > n表明當前解已經求出，將總數+1
// 利用循環遍歷節點的n叉，同時判斷分叉是否符合條件
// 符合條件的分叉繼續遍歷下去
void BackTrack1(int t) {
    if (t > n)
        sum++;
    else 
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            x[t] = i;
            if (place1(t))
                BackTrack1(t + 1);
        }
}

2.2 排列數的解法

​
​ 解向量：(x₁,x₂,x₃,......,x_n)
​ 顯約束：任意倆皇后不一樣行、不一樣列。x₁,x₂,x₃,......,x_n是1,2,3.......n排列
​ 隱約束：不處於同一正反對角線：|i - j| ≠ |x_i - x_j|

​ 核心代碼：

// 交換倆行皇后的位置
// 實現切換排列數的分支做用
void swap(int i, int j) {
    int tmp = x[i];
    x[i] = x[j];
    x[j] = tmp;
}

// 剪枝函數，排除在同一對角線上的狀況
int place2(int k) {
    for (int j = 1; j < k; j++)
        if (abs(k - j) == abs(x[j] - x[k]))
            return 0;
    return 1;
}

// t > n時表示當前排列符合條件，總數 + 1
// 利用for循環，和swap函數，將節點對應的全部排列遍歷一次
// 同時採用剪枝函數，減去錯誤的分支
// 對正確的分支繼續求解下去
// 最後遞歸求解結束後，再次調用swap函數將狀態返回到本來的節點狀態
void BackTrack2(int t) {
    if (t > n) sum++;
    else
        for (int i = t; i <= n; i++) {
            swap(t, i);
            if (place2(t))
                BackTrack2(t + 1);
            swap(t ,i);
        }
}

3. 完整代碼

/**
 * 回溯法求解n皇后問題
 * 使用x解向量，x1,x2,x3分別表示在1,2,3行上皇后的列號
 **/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define MAX 4

/**
 * n    皇后個數
 * x    當前解
 * sum  
 **/
int n = MAX;
int x[MAX + 1];
long sum = 0;

// 剪枝函數，排除同列和同一對角線的分支
int place1(int k) {
    for (int j = 1; j < k; j++)
        if (abs(k - j) == abs(x[j] - x[k]) || x[j] == x[k])
            return 0;
    return 1;
}

// t > n表明當前解已經求出，將總數+1
// 利用循環遍歷節點的n叉，同時判斷分叉是否符合條件
// 符合條件的分叉繼續遍歷下去
void BackTrack1(int t) {
    if (t > n)
        sum++;
    else 
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            x[t] = i;
            if (place1(t))
                BackTrack1(t + 1);
        }
}

// 交換倆行皇后的位置
// 實現切換排列數的分支做用
void swap(int i, int j) {
    int tmp = x[i];
    x[i] = x[j];
    x[j] = tmp;
}

// 剪枝函數，排除在同一對角線上的狀況
int place2(int k) {
    for (int j = 1; j < k; j++)
        if (abs(k - j) == abs(x[j] - x[k]))
            return 0;
    return 1;
}

// t > n時表示當前排列符合條件，總數 + 1
// 利用for循環，和swap函數，將節點對應的全部排列遍歷一次
// 同時採用剪枝函數，減去錯誤的分支
// 對正確的分支繼續求解下去
// 最後遞歸求解結束後，再次調用swap函數將狀態返回到本來的節點狀態
void BackTrack2(int t) {
    if (t > n) sum++;
    else
        for (int i = t; i <= n; i++) {
            swap(t, i);
            if (place2(t))
                BackTrack2(t + 1);
            swap(t ,i);
        }
}

void main() {

    for (int i = 0; i <= n; i++)
        x[i] = i;

    BackTrack1(1);
    printf("%d\n", sum);

    for (int i = 0; i <= n; i++)
        x[i] = i;
    sum = 0;

    BackTrack2(1);
    printf("%d\n", sum);

    system("pause");
}