Lucas 定理

Lucas 定理

\[C_m^n \equiv C_{m \bmod p}^{n \bmod p} C_{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor} \pmod{p} \]

證實

規定：\(inv_x\) 表示 \(x\) 在模 \(p\) 意義下的逆元

\(C_p^x \equiv p \cdot inv_x \cdot C_{p-1}^{x-1} \pmod{p}\)

這裏 \(0 < x <p\)

\[C_p^x = \frac{p!}{x!(p-x)!} = \frac{p \cdot (p-1)!}{x \cdot (x-1)!(p-x)!} = \frac{p}{x} \cdot \frac{(p-1)!}{(x-1)![(p-1)-(x-1)]} = \frac{p}{x} \cdot C_{p-1}^{x-1} \equiv p \cdot inv_x \cdot C_{p-1}^{x-1} \pmod{p} \]

\((1+x)^p \equiv 1 + x^p\)

根據二項式定理：

\[(1+x)^p = \sum\limits_{i=0}^p C_p^i \cdot x^i \cdot 1^{p-i} \]

\[= \sum\limits_{i=0}^p C_p^i \cdot x^i \]

\(\because C_p^x \equiv p \cdot inv_x \cdot C_{p-1}^{x-1} \equiv 0 \pmod{p}\)

\[\therefore (1+x)^p = C_p^0 \cdot x^0 + C_p^p \cdot x^p \]

\[= 1 + x^p \]

推 式 子

設 \(\left\{ \begin{matrix} s = \lfloor \frac{m}{p} \rfloor \\ r = m \bmod p \\ \end{matrix} \right.\)，則 \(m=sp+r\)

\[\because (1+x)^m = \sum\limits_{k=0}^{m} C_m^k x^k \]

\[(1+x)^m = (1+x)^{sp+r} = (1+x)^{sp} \cdot (1+x)^r \]

\[= [(1+x)^p]^s \cdot (1+x)^r \]

\[\equiv (1+x^p)^s \cdot (1+x)^r \pmod{p} \]

\[= \sum\limits_{i=0}^s C_s^i x^{ip} \cdot \sum\limits_{j=0}^r C_r^j x^j \]

\[= \sum\limits_{i=0}^s \sum\limits_{j=0}^r C_s^i C_r^j x^{ip+j} \]

由於 \(ip+j\) 恰好會枚舉到 \([0,m]\) 中的整數各一次（對於每一個在 \([0,m]\) 中的整數 \(x\) 均可以拆成 \(\lfloor \frac{x}{p} \rfloor \cdot p + x \bmod p\)的形式，而 \(i = \lfloor \frac{x}{p} \rfloor,j = x \bmod p\)），因此轉而枚舉 \(k=ip+j\)：

\[(1+x)^m \equiv \sum\limits_{k=0}^m C_s^{\lfloor \frac{k}{p} \rfloor} C_r^{k \bmod p} \pmod{p} \]

讓 \(k=n\)，則

\[C_m^n \equiv C_s^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor} C_r^{n \bmod p} = C_{m \bmod p}^{n \bmod p} C_{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor} \pmod{p} \]

得證.

代碼實現

例題：洛谷 P3807 【模板】盧卡斯定理

若是尋求高效率，建議先預處理出 \(0\)~\(p\) 在模 \(p\) 意義下的逆元和 \(0\)~\(p\) 的階乘：

for(int i=2;i<=p;i++)
{
      fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%p;
      inv[i]=1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

而後再處理出 \(0\)~\(p\) 的階乘的逆元：

for(int i=2;i<=p;i++)
      inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%p;
//注意不能和求0~p的逆元放一塊兒作！！！

而後就是快快樂樂的 \(Lucas\) 了：

int C(int _m,int _n,int mod)
{
	if(_n>_m) return 0;
	return 1ll*fac[_m]*inv[_n]%mod*inv[_m-_n]%mod;
}
int Lucas(int _m,int _n,int mod)
{
	if(_n==0){return 1;}
	else return 1ll*C(_m%mod,_n%mod,mod)*Lucas(_m/mod,_n/mod,mod)%mod;
}