【數據結構06】二叉平衡樹（AVL樹）
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1、平衡二叉樹定義
平衡二叉樹又稱AVL樹。它能夠是一顆空樹，或者具備如下性質的二叉排序樹：它的左子樹和右子樹的高度之差(平衡因子)的絕對值不超過1且它的左子樹和右子樹都是一顆平衡二叉樹。node
從上面簡單的定義咱們能夠得出幾個重要的信息：編程
- 平衡二叉樹又稱AVL樹
- 平衡二叉樹必須是二叉排序樹
- 每一個節點的左子樹和右子樹的高度差至多爲1。
在定義中提到了樹的高度和深度，我敢確定有不少讀者必定對樹的高度和深度有所誤解！最可愛的誤解就是樹的高度和深度沒有區別，認爲樹的高度就是深度。宜春就忍不了了，必須得嗶嗶幾句...設計模式
樹的高度和深度本質區別：深度是從根節點數到它的葉節點，高度是從葉節點數到它的根節點。數組
二叉樹的深度是從根節點開始自頂向下逐層累加的；而二叉樹高度是從葉節點開始自底向上逐層累加的。雖然樹的深度和高度同樣，可是具體到樹的某個節點，其深度和高度是不同的。併發
其次就是對樹的高度和深度是從1數起，仍是從0數起。固然我也有本身的答案，可是衆說紛紜，博主就不說其對與錯了，就很少嗶嗶了。可是我仍是比較認同這張圖的觀點：
可參考：https://www.zhihu.com/question/40286584ide
2、這貨仍是不是平衡二叉樹？
判斷一棵平衡二叉樹（AVL樹）有以下必要條件：學習
條件一：必須是二叉搜索樹。
條件二：每一個節點的左子樹和右子樹的高度差至多爲1。測試
3、平衡因子
很少嗶嗶，平衡因子 = 左子樹深度/高度 - 右子樹深度/高度
對於上圖平衡二叉樹而言：
5的結點平衡因子就是 3 - 2 = 1；
2的結點平衡因子就是 1 - 2 = -1；
4的結點平衡因子就是 1 - 0 = 1；
6的結點平衡因子就是 0 - 1 = -1；
對於上圖非平衡二叉樹而言：
3 的結點平衡因子就是 2 - 4 = -2；
1 的結點平衡因子就是 0 - 1 = -1；
4 的結點平衡因子就是 0 - 3 = -3；
5 的結點平衡因子就是 0 - 2 = -2；
6 的結點平衡因子就是 0 - 1 = -1；
特別注意：葉子結點平衡因子都是爲 0
4、如何保持平衡二叉樹平衡？
因爲普通的二叉查找樹會容易失去」平衡「，極端狀況下，二叉查找樹會退化成線性的鏈表，致使插入和查找的複雜度降低到 O(n) ，因此，這也是平衡二叉樹設計的初衷。那麼平衡二叉樹如何保持」平衡「呢？
不難看出平衡二叉樹是一棵高度平衡的二叉查找樹。因此，要構建跟維繫一棵平衡二叉樹就比普通的二叉樹要複雜的多。在構建一棵平衡二叉樹的過程當中，當有新的節點要插入時，檢查是否因插入後而破壞了樹的平衡，若是是，則須要作旋轉去改變樹的結構。關於旋轉，我相信使用文字描述是很難表達清楚的，仍是得靠經典的兩個圖來理解最好不過了！不要不信噢，固然你能夠嘗試讀下文字描述左旋：
左旋簡單來講就是將節點的右支往左拉，右子節點變成父節點，並把晉升以後多餘的左子節點出讓給降級節點的右子節點。
相信你已經暈了。固然能夠試着看看下面的經典動圖理解！
左旋：
==試着用動態和下面的左旋結果圖分析分析，想象一下，估計分分鐘明白左旋！！！==
//左旋轉方法代碼
private void leftRotate() {
//建立新的結點，以當前根結點的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的結點的左子樹設置成當前結點的左子樹
newNode.left = left;
//把新的結點的右子樹設置成帶你過去結點的右子樹的左子樹
newNode.right = right.left;
//把當前結點的值替換成右子結點的值
value = right.value;
//把當前結點的右子樹設置成當前結點右子樹的右子樹
right = right.right;
//把當前結點的左子樹(左子結點)設置成新的結點
left = newNode;
}
相應的右旋就很好理解了：
反之就是右旋，這裏就再也不舉例了！
小結：當二叉排序樹每一個節點的左子樹和右子樹的高度差超過1的時候，就須要經過旋轉節點來維持平衡！旋轉又分爲左旋、右旋、雙旋轉。
啥？雙旋轉？是的，顧名思義，在一些添加節點的狀況下旋轉一次是不能達到平衡的，須要進行第二次旋轉，
5、平衡二叉樹插入節點的四種狀況
當新節點插入後，有可能會有致使樹不平衡，而可能出現的狀況就有4種，分別稱做左左，左右，右左，右右。
==而所謂的「左」和「右」無非就是表明新節點所插入的位置是左仍是右！==
第一個左右表明位於根節點的左或者右，
第二個左右表明位於 【最接近插入節點的擁有兩個子節點的父節點】 位置的左或者右
==固然針對於第二個左右是我我的的看法，不必定徹底正確。有本身想法的讀者，歡迎留言指正！==
下面以左左爲例，分析一波：
其中要特別注意的是：
右右、左左只須要旋轉一次就能夠平衡。
左右、右左要旋轉兩次才能把樹調整平衡！
==其中旋轉的條件就是：當二叉排序樹每一個節點的左子樹和右子樹的高度差超過1的時候！==
6、平衡二叉樹操做的代碼實現
// 建立AVLTree
class AVLTree {
private Node root;
public Node getRoot() {
return root;
}
// 查找要刪除的結點
public Node search(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.search(value);
}
}
// 查找父結點
public Node searchParent(int value) {
if (root == null) {
return null;
} else {
return root.searchParent(value);
}
}
// 編寫方法:
// 1. 返回的 以node 爲根結點的二叉排序樹的最小結點的值
// 2. 刪除node 爲根結點的二叉排序樹的最小結點
/**
*
* @param node 傳入的結點(當作二叉排序樹的根結點)
*
* @return 返回的 以node 爲根結點的二叉排序樹的最小結點的值
*/
public int delRightTreeMin(Node node) {
Node target = node;
// 循環的查找左子節點，就會找到最小值
while (target.left != null) {
target = target.left;
}
// 這時 target就指向了最小結點
// 刪除最小結點
delNode(target.value);
return target.value;
}
// 刪除結點
public void delNode(int value) {
if (root == null) {
return;
} else {
// 1.需求先去找到要刪除的結點 targetNode
Node targetNode = search(value);
// 若是沒有找到要刪除的結點
if (targetNode == null) {
return;
}
// 若是咱們發現當前這顆二叉排序樹只有一個結點
if (root.left == null && root.right == null) {
root = null;
return;
}
// 去找到targetNode的父結點
Node parent = searchParent(value);
// 若是要刪除的結點是葉子結點
if (targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
// 判斷targetNode 是父結點的左子結點，仍是右子結點
if (parent.left != null && parent.left.value == value) { // 是左子結點
parent.left = null;
} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {// 是由子結點
parent.right = null;
}
} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { // 刪除有兩顆子樹的節點
int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
targetNode.value = minVal;
} else { // 刪除只有一顆子樹的結點
// 若是要刪除的結點有左子結點
if (targetNode.left != null) {
if (parent != null) {
// 若是 targetNode 是 parent 的左子結點
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.left;
} else { // targetNode 是 parent 的右子結點
parent.right = targetNode.left;
}
} else {
root = targetNode.left;
}
} else { // 若是要刪除的結點有右子結點
if (parent != null) {
// 若是 targetNode 是 parent 的左子結點
if (parent.left.value == value) {
parent.left = targetNode.right;
} else { // 若是 targetNode 是 parent 的右子結點
parent.right = targetNode.right;
}
} else {
root = targetNode.right;
}
}
}
}
}
// 添加結點的方法
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;// 若是root爲空則直接讓root指向node
} else {
root.add(node);
}
}
// 中序遍歷
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
System.out.println("二叉排序樹爲空，不能遍歷");
}
}
}
// 建立Node結點
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
// 返回左子樹的高度
public int leftHeight() {
if (left == null) {
return 0;
}
return left.height();
}
// 返回右子樹的高度
public int rightHeight() {
if (right == null) {
return 0;
}
return right.height();
}
// 返回 以該結點爲根結點的樹的高度
public int height() {
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
}
//左旋轉方法
private void leftRotate() {
//建立新的結點，以當前根結點的值
Node newNode = new Node(value);
//把新的結點的左子樹設置成當前結點的左子樹
newNode.left = left;
//把新的結點的右子樹設置成帶你過去結點的右子樹的左子樹
newNode.right = right.left;
//把當前結點的值替換成右子結點的值
value = right.value;
//把當前結點的右子樹設置成當前結點右子樹的右子樹
right = right.right;
//把當前結點的左子樹(左子結點)設置成新的結點
left = newNode;
}
//右旋轉
private void rightRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}
// 查找要刪除的結點
/**
*
* @param value
* 但願刪除的結點的值
* @return 若是找到返回該結點，不然返回null
*/
public Node search(int value) {
if (value == this.value) { // 找到就是該結點
return this;
} else if (value < this.value) {// 若是查找的值小於當前結點，向左子樹遞歸查找
// 若是左子結點爲空
if (this.left == null) {
return null;
}
return this.left.search(value);
} else { // 若是查找的值不小於當前結點，向右子樹遞歸查找
if (this.right == null) {
return null;
}
return this.right.search(value);
}
}
// 查找要刪除結點的父結點
/**
*
* @param value 要找到的結點的值
*
* @return 返回的是要刪除的結點的父結點，若是沒有就返回null
*/
public Node searchParent(int value) {
// 若是當前結點就是要刪除的結點的父結點，就返回
if ((this.left != null && this.left.value == value) || (this.right != null && this.right.value == value)) {
return this;
} else {
// 若是查找的值小於當前結點的值, 而且當前結點的左子結點不爲空
if (value < this.value && this.left != null) {
return this.left.searchParent(value); // 向左子樹遞歸查找
} else if (value >= this.value && this.right != null) {
return this.right.searchParent(value); // 向右子樹遞歸查找
} else {
return null; // 沒有找到父結點
}
}
}
@Override
public String toString() {
return "Node [value=" + value + "]";
}
// 添加結點的方法
// 遞歸的形式添加結點，注意須要知足二叉排序樹的要求
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 判斷傳入的結點的值，和當前子樹的根結點的值關係
if (node.value < this.value) {
// 若是當前結點左子結點爲null
if (this.left == null) {
this.left = node;
} else {
// 遞歸的向左子樹添加
this.left.add(node);
}
} else { // 添加的結點的值大於 當前結點的值
if (this.right == null) {
this.right = node;
} else {
// 遞歸的向右子樹添加
this.right.add(node);
}
}
//當添加完一個結點後，若是: (右子樹的高度-左子樹的高度) > 1 , 左旋轉
if(rightHeight() - leftHeight() > 1) {
//若是它的右子樹的左子樹的高度大於它的右子樹的右子樹的高度
if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
//先對右子結點進行右旋轉
right.rightRotate();
//而後在對當前結點進行左旋轉
leftRotate(); //左旋轉..
} else {
//直接進行左旋轉便可
leftRotate();
}
return ; //必需要!!!
}
//當添加完一個結點後，若是 (左子樹的高度 - 右子樹的高度) > 1, 右旋轉
if(leftHeight() - rightHeight() > 1) {
//若是它的左子樹的右子樹高度大於它的左子樹的高度
if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
//先對當前結點的左結點(左子樹)->左旋轉
left.leftRotate();
//再對當前結點進行右旋轉
rightRotate();
} else {
//直接進行右旋轉便可
rightRotate();
}
}
}
// 中序遍歷
public void infixOrder() {
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
System.out.println(this);
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
public class AVLTreeDemo {
public static void main(String[] args) {
int[] arr = { 14, 21, 7, 3, 8, 9 };//任意測試節點數組
//建立一個 AVLTree對象
AVLTree avlTree = new AVLTree();
//添加結點
for(int i=0; i < arr.length; i++) {
avlTree.add(new Node(arr[i]));
}
//遍歷
System.out.println("中序遍歷");
avlTree.infixOrder();
System.out.println("平衡處理...");
System.out.println("樹的高度=" + avlTree.getRoot().height());
System.out.println("樹的左子樹高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight());
System.out.println("樹的右子樹高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight());
System.out.println("當前的根結點=" + avlTree.getRoot());
}
}
7、AVL樹總結
一、平衡二叉樹又稱AVL樹。
二、平衡二叉樹查詢、插入、刪除的時間複雜度都是 O(logN) 。
三、插入節點失去平衡的狀況有4種，左左，左右，右左，右右。
四、右右、左左只須要旋轉一次就能夠平衡，而左右、右左要旋轉兩次才能把樹調整平衡！
五、失去平衡最多也只要旋轉2次，因此，調整平衡的過程的時間複雜度爲O(1)。
雖然平衡二叉樹有效的解決了極端相似蛇皮單鏈表的狀況，可是平衡二叉樹也不是完美的，AVL樹最大的缺點就是刪除節點時有可能由於失衡，致使須要從刪除節點的父節點開始，不斷的回溯到根節點，若是這棵AVL樹很高的話，那中間就要判斷不少個節點，效率就顯然變的低下！所以咱們後面將要學習2-3樹以及紅-黑樹，抽空寫嘍....
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- 4. Java數據結構與算法（樹）——平衡二叉樹（AVL樹）
- 5. 平衡二叉樹（AVL樹）
- 6. 平衡二叉樹——AVL樹
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- 10. 006-數據結構-樹形結構-二叉樹、二叉查找樹、平衡二叉查找樹-AVL樹
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