QuantLib 金融計算——數學工具之插值

目錄

• QuantLib 金融計算——數學工具之插值
  • 概述
  • 一維插值方法
  • 二維插值方法

若是未作特別說明，文中的程序都是 Python3 代碼。

QuantLib 金融計算——數學工具之插值

載入模塊

import QuantLib as ql
import scipy

print(ql.__version__)

1.12

概述

「插值」是量化金融中最經常使用的工具之一，已知一組離散點以及未知函數 \(f\) 在這些點上的值 \((x_i , f(x_i )) i \in \{0, \dots, n\}\)，要近似求出任意一點 \(x \in [x_0 , x_n ]\) 上的函數值。標準的應用場景是對收益率曲線、波動率微笑曲線和波動率曲面的插值。quantlib-python 提供了下列一維和二維插值方法：

• LinearInterpolation（1-D）
• LogLinearInterpolation（1-D）
• BackwardFlatInterpolation（1-D）
• ForwardFlatInterpolation（1-D）
• BilinearInterpolation（2-D）
• BicubicSpline（2-D）

一維插值方法

一維插值方法經常使用於收益率曲線、波動率微笑曲線，其對象的構造基本以下：

myInt = XXXInterpolation(x,
                         y)

• x：浮點數序列，若干離散的自變量
• y：浮點數序列，自變量對應的函數值，與 x 等長

插值類定義了 __call__ 方法，一個插值類對象的使用方式以下，做爲一個函數

myInt(x, allowExtrapolation)

• x：浮點數，要插值的點
• allowExtrapolation：布爾型，allowExtrapolation 爲 True 意味着容許外推，默認值是 False。

例子 1

def testingInterpolations1():
    xVec = [0.0, 1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
    yVec = [scipy.exp(x) for x in xVec]

    linInt = ql.LinearInterpolation(xVec, yVec)

    print("Exp at 0.0  ", linInt(0.0))
    print("Exp at 0.5  ", linInt(0.5))
    print("Exp at 1.0  ", linInt(1.0))

# Exp at 0.0   1.0
# Exp at 0.5   1.8591409142295225
# Exp at 1.0   2.718281828459045

二維插值方法

二維插值方法經常使用於波動率曲面，其對象的構造基本以下：

myInt = XXXInterpolation(x,
                         y,
                         m)

• x：浮點數序列，x 軸上的若干離散的自變量
• y：浮點數序列，y 軸上的若干離散的自變量，與 x 等長
• m：矩陣，函數在 x 和 y 所張成的網格上的取值

插值類定義了 __call__ 方法，一個插值類對象的使用方式以下，做爲一個函數

myInt(x, y, allowExtrapolation)

• x、y：浮點數，分別是要插值的點在 x 和 y 軸上的座標
• allowExtrapolation：布爾型，allowExtrapolation 爲 True 意味着容許外推，默認值是 False。

例子 2

def testingInterpolations2():
    xVec = [float(i) for i in range(10)]
    yVec = [float(i) for i in range(10)]

    M = ql.Matrix(len(xVec), len(yVec))

    for rowIt in range(len(xVec)):
        for colIt in range(len(yVec)):
            M[rowIt][colIt] = scipy.sin(xVec[rowIt]) + scipy.sin(yVec[colIt])

    bicubIntp = ql.BicubicSpline(
        xVec, yVec, M)

    x = 0.5
    y = 4.5

    print("Analytical Value:  ", scipy.sin(x) + scipy.sin(y))
    print("Bicubic Value:  ", bicubIntp(x, y))

testingInterpolations4()

Analytical Value:   -0.498104579060894
Bicubic Value:    -0.49656170664824184