筆記：二部圖最大匹配的匈牙利算法

二部圖最大匹配問題

定義

設簡單二部圖\(G=< A,B,E>,M\subset E,\)若是\(M\)中任意兩條邊都不相鄰，則稱\(M\)是\(G\)的匹配。當\(M\)的邊數最多時，\(M\)稱做最大匹配。當\(|A|=|B|=n\)時，邊數爲\(n\)的匹配稱做完美匹配。

相關概念

交錯路徑和增廣交錯路徑

設\(M\)是二部圖\(G\)的一個匹配，則稱\(M\)中的邊爲匹配邊，\(G\)中不屬於\(M\)的邊爲非匹配邊，與匹配邊關聯的頂點爲飽和點。\(G\)中由匹配邊和非匹配邊交替構成的路徑稱爲交錯路徑，起點和重點都是非飽和頂點的交錯路徑稱爲增廣交錯路徑。

引理1

設\(M\)是二部圖\(G\)的一個匹配，\(P\)是一條關於\(M\)的增廣交錯路徑，則\(M'=M\bigoplus E(P)\)（和原來匹配作對稱差）是一個匹配，且\(|M'|=|M|+1\)，其中\(E(P)\)是\(P\)的邊集。

定理1

二部圖的匹配是最大匹配當且僅當不存在關於它的增廣交錯路徑。

匈牙利算法（Hungarian algorithm）

基本思想

(1).從初始匹配\(M\)開始，尋找一條關於它的增廣交錯路徑\(P\)

(2).令\(M\leftarrow M\bigoplus E(P)\)

(3).檢查是否存在關於\(M\)的增廣交錯路徑\(P\)，若不存在，算法結束。不然轉(2).

實現：標號法

1.設當前匹配爲\(M\)，對\(A\)中每個非飽和點\(A_i\)加標號\(l(A_i)=0\)，\(A_i\)是已標號但未檢查的點。

2.對任意已標號但未檢查的頂點\(A_i\)，把全部與其相鄰但未標號的頂點\(B_j\)標號爲\(l(B_j)=A_i\).

3.若是\(B_j\)是非飽和點，則找到一條增廣交錯路徑，修改匹配，從新開始標號。

4.若是\(B_j\)是飽和點，則設\((A_k,B_j)\in M\)，令\(l(A_k)=B_j\)，則\(A_k\)成爲已標號未檢查頂點，\(A_i\)成爲已標號已檢查的頂點。

5.重複算法，直到\(A\)中不存在已標號未檢查的頂點。

匈牙利算法的複雜度分析

設二部圖\(G=< A,B,E>\)。在匈牙利算法的每一個階段若找到增廣交錯路徑\(P\)，令\(M\leftarrow M\bigoplus E(P)\).對於初始狀態，\(M=\emptyset\)是\(G\)的匹配。當計算終止時，不存在增廣交錯路徑。

除去算法最終階段外，算法每一個階段增長一條匹配邊，匹配邊總數爲\(\min\{|A|,|B|\}\)條，因此最多有\(\min\{|A|,|B|\}+1\)個階段，在每一個標號階段中，每條邊最多被檢查一次，增廣交錯路徑長度不超過\(2|M|+1\)，因此每一個階段將在\(O(|E|)\)內完成。故整個算法在\(O(\min\{|A|,|B|\}\times E)\)步內停止。